Chiziqli bir jinsli bo’lmagan 2-tartibli differensial tenglamalar (X) + (X) + (X)y=b(X) (1) (X) +

Ixtiyoriy o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli

Biz yuqorida (1) differensial tenglamaning yechimi

y= (x)+ (x)= (x)+ (x)+ (x)

formula orqali topish mumkinligini ko’rsatgan edik,bu yerda va lar ixtiyoriy

o’zgarmas sonlar.

Endi (2) differensial tenglamaning umumiy yechimi ma’lum bo’lsa, (1) differensial tenglamaning xususiy yechimi qanday topilishini aniqlaymiz.

(1) differensial tenglamani qaraylik (x)= (x)+ (x) funksiya (1) ga mos (2) differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’sin,bu yerda (x) va (x) lar fundamental sistema tashkil qiluvchi xususiy yechimlar.

Endi umumiy yechimdagi va o’zgarmaslarni mos ravishda (x) va (x)

Funksiyalar bilan almashtiramiz.Bu funksiyalarni shunday tanlaymizki,

(x)= (x)+ (x) (13)

bir jinsli bo’lmagan (1) differensial tenglamaning yechimi bo’lsin.Unda

=

(x) + (x) + (x) + (x)

Biz ikkita yangi noma’lum (x) va (x) funksiyalarni kiritdik.Ulatni aniqlash uchun ikkita tenglama tuzish kerak.

Bu tenglamalrning birinchisi sifatida

(x) + (x) = 0 (14)

Tenglamani olamiz.Unda (13) ifoda sodda shaklni oladi.

(x) + (x)

Bu ifodani yana bir marta differensiallab quyidagiga ega bo’lamiz:

= = (x) + (x) + (x) + (x)

, ifodalarni (1) olib borib qo’yamiz:

(x)[ + + + ]+

(x)[ + ]+ (x)[ + ]=b(x)

Bu yerda guruxlash amallarini bajarsak, u holda oxirgi tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

[ (x) (x) + (x) ] +[ (x) (x) + (x) ] +

(x)[ + ]=b(x)

va funksiyalar (2) differensial tenglamaning yechimlari bo’lgani uchun, oxirgi tenglik

(x)[ + ]=b(x)

ko’rinishida keladi.

+ = (15)

(x) va (x) funksiyalarni qanoatlantiradigan (14) va (15) tenglamalardan quyidagi algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

(16)

(16) tenglamalar sistemasi noma’lumlari (x) va (x) bo’lgan algebraik tenglamalar sistemasidir. va lar fundamental yechimlar sistemasi bo’lganligi uchun

= 0

Shuning uchun Kramer qoidasiga ko’ra (16) tenglamalar sistemasining yechimi mavjud va yagonadir.

Bu tenglamalar sistemasining va larni aniqlab so’ngra ularni integrallab (13) formula bo’yicha (1) differensial tenglamaning xususiy yechimlarini topamiz.

Misol. +4y= diffferensial tenglamaning xususiy yechimini toping.

Yechish. Berilgan tenglamaga mos +4y=0 bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi (x)= sin2x+ cos2x bo’ladi.Berilgan differensial tenglamaning

- xususiy yechimini topish uchun o’zgarmaslarni variatsiyalash usulidan foydalanamiz.Unda

= sin2x+ cos2x (*)

(*) dan foydalanib (16) tenglamalar sistemasini tuzamiz:

Bu sistemani yechib va larni topamiz.

= = =

= = tg2x

Bu yerda

(x)= dx= x

(x)= dx=

Xususiy yechim izlanayotganligi uchun, bu yerda ixtiyoriy o’zgarmaslar yozilmagan.Topilgan (x) va (x) ifodalarni (*) ga olib borib qo’ysak,berilgan bir jinsli bolmagan differensial tenglamaning xususiy yechimini topamiz:

= xsin2x+ *cos2x

Demak, +4y= differensial tenglamaning umumiy yehimi quyidagicha bo’ladi.