Chiziqli algrbra yakuniy

5-misol. matritsaning rangini aniqlang.
Yechish. Berilgan dastlabki matritsa ustida quyidagicha elementar almashtirishlar bajaramiz:

Matritsa pog‘onasimon matritsaga keltirildi. Uchinchi satr barcha elementlari nollardan iborat boʻlganligi sababli, berilgan matritsa rangi ikkiga teng.
_9. 2-ta’rif. Agar kvadrat matritsaning determinanti noldan farqli bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, matritsa xosmas matritsa deyiladi.
3-ta’rif. Agar bo‘lsa, matritsa xos matritsa deyiladi.
4-ta’rif. Agar kvadrat matritsa uchun tenglik bajarilsa, u holda matritsa matritsaga teskari matritsa deyiladi.
6.Teskari matritsa mavjudligining zaruriy va etarli sharti.
1-teorema. kvadrat matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lishi uchun matritsa xosmas matritsa bo‘lishi zarur va etarli.
Isbot. Zaruriyligi: Faraz qilaylik matritsa uchun teskari matritsa mavjud bolsin, u holda determinantning xossasiga ko‘ra, boʻladi. Bundan, agar teskari matritsa mavjud boʻlsa ekanligini kelib chiqadi.
Etarliligi: Faraz qilaylik A n tartibli kvadrat matritsa bo‘lib, bo‘lsin.. matritsaga qo‘shma matritsani quramiz


va matritsalar ko‘paytmasini qaraymiz:

.

ko‘paytmaning har bir elementi


yigindidan iborat bo‘ladi. U holda Laplas teoremasi va uning natijasiga ga ko‘ra

,
Qaysiki, bu yerda

Bundan va matritsalar ko‘paytmasi, quyidagi skalyar matritsaga teng boladi.

.

Bundan,
. (*)

Xuddi shu usulda
(**)
Tenglikni keltirib chiqarish mumkin. U holda (*) va (**) tengliklardan
,
yoki

(***)

Kelib chiqadi. Haqiqatan ham (*) dan

,
va (**) dan bu qurilgan matritsa matritsaga teskari matritsa bo‘ladi, ya’ni
.
Teorema isbotlandi.