Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишнинг матрица, Гаусс ва Гаусс-Жордан усуллари. Reja

Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss – Jordan usuli

Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss – Jordan usulining (Gauss usulining Jordan modifikatsiyasi) mazmun-mohiyati quyidagidan iborat: dastlabki normal koʻrinishda berilgan sistemaning kengaytirilgan matritsasi quriladi. Yuqorida keltirilgan sistemaning teng kuchliligini saqlovchi elementar almashtirishlar yordamida, kengaytirilgan matritsaning chap qismida birlik matritsa hosil qilinadi. Bunda birlik matritsadan oʻngda yechimlar ustuni hosil boʻladi. Gauss - Jordan usulini quyidagicha sxematik ifodalash mumkin:

.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Gauss-Jordan usuli noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotishning Gauss strategiyasi va teskari matritsa qurishning Jordan taktikasiga asoslanadi. Teskari matritsa oshkor shaklda qurilmaydi, balki oʻng ustunda bir yoʻla teskari matritsaning ozod hadlar ustuniga koʻpaytmasi–yechimlar ustuni quriladi.

8-misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usulida yeching:



Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasi koeffitsiyentlaridan kengaytirilgan matritsa tuzamiz. Tenglamalar ustida bajariladigan almashtirishlar yordamida asosiy matritsani quyidagicha birlik matritsaga keltirib javobni topamiz:

9-misol. Tenglamalar sistemasini Gauss – Jordan usulida yeching:

Yechish. Berilgan sistemada kengaytirilgan matritsani ajratib olamiz:

va unga Gauss – Jordan usulini tatbiq etamiz:

Sistema trapetsiyasimon koʻrinishiga keldi:

Bu yerda va oʻzgaruvchilarni bazis sifatida qabul qilamiz, chunki ular oldidagi koeffitsiyentlardan tuzilgan determinant . Bu determinant oxirgi sistemaning koeffitsiyentlaridan tuzilgan asosiy matritsaning ham bazis minori boʻladi. Erkli oʻzgaruvchi boʻlib xizmat qiladi.

Oxirgi sistemadan quyidagi yechimga

ega boʻlamiz. Shunday qilib, berilgan sistemaning umumiy yechimini

koʻrinishda tasvirlash mumkin.

Agar , deb olsak, u holda berilgan sistemaning

koʻrinishdagi xususiy yechimini topamiz.

Agar ni olsak berilgan sistemaning quyidagi bazis yechimiga ega boʻlamiz:

.