Chegaraviy masala

1-misol. (2.123)
тenglamaning
, , (2.124)
boshlang`ich shartlarni hamda
(2.125)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. (2.115) ni (2.123) ga qo`yish natijasida va funksiyalarga nisbatan
, (2.126) (2.127)
ko`rinishdagi oddiy differensial tenglamalarga ega bo`lamiz, bu yerda - noma’lum o`zgarmas parametr.
(2.115) ni (2.125) ga qo`yib, ekanligini e’tiborga olsak, funksiya
, (2.128)
shartlarni qanoatlantiradi.
(2.115) ko`rinishdagi (2.124) shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bo`lmagan yechimni topish uchun (2.127) tenglamaning (2.128) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan nolga teng bo`lmagan yechimini topish zarur.
Agar bo`lsa, (2.127) tenglamaning (2.128) chegaraviy
shartlarni qanoatlantiruvchi aynan nolga teng bo`lmagan yechimi
mavjud. Haqiqatan, (2.127) tenglamaning umumiy yechimi

ko`rinishga ega bo`ladi. (2.128) chegaraviy shartlarga binoan
.
Bunda deb hisoblaymiz, aks holda bo`lib qoladi. Demak, ni hamda va funksiyalar chiziqli bog`liq bo`lgani uchun ni hisobga olib, (2.127), (2.128) masalaning yechimi quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
(2.129)
Endi har bir ni (2.126) tenglamaga qo`yib, uning umumiy yechimi (uni deb belgilab),

ko`rinishda bo`ladi, bu yerda va ixtiyoriy o`zgarmaslar.
(2.115) ga asosan yuqoridagilardan kelib chiqadiki, har bir

(2.130)
funksiya (2.123) tenglamaning (2.125) shartni qanoatlantiruvchi trivial bo`lmagan yechimi bo`lganligi sababli, (2.130) yechimlarning cheksiz yig`indisi ham yechim bo`ladi, ya’ni
. (2.131)
(2.131) ni bo`yicha differensiallaymiz:

. (2.132)
(2.131) va (2.132) da deb, (2.124) boshlang`ich shartlarga asosan ushbu
,




tengliklarni hosil qilamiz. Bularni (2.131) ga qo`yib (2.123), (2.124), (2.125) aralash masalaning yechimini hosil qilamiz:

(2.112), (2.113), (2.114) masaladan xususiy hollarda tor tebranish tenglamasi uchun I, II, III aralash masalalar kelib chiqqanligi sabab, bu masalalarni ham Furye usuli bilan yechish mumkin [8], [19].