Buyuklik ilmdandur !

3. Abu Rayhon Beruniyning “Doira vatarini aniqlash” risolasidagi ayrim teoremalar.

Beruniy 1027 yil avgustida G’aznada “Doira vatarini unga ichki chizilgan siniq chiziqning xossasi yordamida aniqlash haqida”(qisqacha: “Doira vatarini aniqlash”) risolasini yozib tugatdi. Risolada mashhur yunon olimi Arximedning “Urinuvchi doiralar haqida” asaridan olingan ushbu teorema keltiriladi:

Agar doira yoyiga ichki cizilgan va teng bo’lmagan ikki qismdan iborat siniq chiziqning katta qismiga shu yoyning o’rtasidan perpendikulyar tushurilsa, u holda bu perpendikulyar- ning asosi berilgan siniq chiziqni teng ikkiga bo’ladi.
Berilgan:

O-aylana

ABC siniq chiziq

AB>BC

ﮟ DBC= ﮟ DnA

DE┴ AB

I.q.k.: AE=BE+BC (1)
AD va BD vatarlar o’tkazilsa, yuqoridagi shartlarda AD²=BD²+AB∙BC (2) tenglik o’rinli bo’ladi. Bu natija ham Arximedning “Urinuvchi doiralar haqida” asarida keltirilgan.

Beruniy o’z asarida (1) tenglikning Arximed tomonidan berilgan uch hil, boshqa matematiklar bergan 20 xil , o’zi topgan 8 xil isbotini, (2) tenglikning 10 xil isbotini keltiradi. Bu natijalar- dan Beruniy turli trigonometrik munosabatlarni isbotlashda , amaliy masalalarni hal etishda keng foydalanadi. (1) tenglikning Beruniy topgan nafis isbotlaridan birini keltiramiz. Bu isbot uchburchak tashqi burchagining va aylanaga ichki chizilgan burchaklarning xossalari hamda uchburchaklar tenglik alomatlariga asoslangan. AB vatarda BE=BC kesma olamiz va AK=BC ekanini isbotlaymiz.

AD,BD,CD, vatarlar o’tkazamiz, D va K nuqtalarni tutashtiramiz.

Yasalishiga ko’ra,

4 =3, shu bilan birga,

3 =1+2 (3 ∆ADK ning tashqi burchagi bo’lgani uchun).

4 = AnD, 1 = BD,

6 = BC;

1+6 = DBC = AnD =4 =3 =1+2

Bundan 6 =2. 1 =5 = BD. Demak,∆ADK~∆BCD (ularning uchala burchaklari mos ravishda teng bo’lgani uchun) . Shartga ko’ra, ں AnD = ں DBC, bundan, teng yoylarni tortib turgan vatarlar teng bo’lgani uchun, AD=DC.

Binobarin, uchburchaklar tengligining 1-alomatiga muvofiq,

∆ADK=∆BCD u holda AK=BC. Shunday qilib,

AE=AK+EK=BE+BC ya’ni AE=BE+BC.

Teorema isbot bo’ldi.

2. 
   tenglikni ham Beruniy bir nechta usulda isbotlagan.
   

Bu usullardan biri (2) ni (1) tenglik yordamida isbotlashdir. Buning uchun (1) tenglikning har ikki qismi kvadratga oshiriladi:

AE²=BE²+BC²+2BC∙BE=BE²+BC(BC+2BE)=BE²+BC∙AB,

Chunki BE=EK, AK=BC bo’lgani uchun BC+2BE=AB.

Shunday qilib, AE²= BE²+BC∙AB. Bu tenglikning har ikki qismiga DE² ni qo’shib, Pifagor teoremasidan foydalansak (DE²+BE²=BD², DE²+AE²=AD²), AD²=BD²+AB∙BC munosabatni hosil qilamiz.

(2) tenglik isbotlandi.