Bugungi o’ta tezkor rivojlanish va taraqqiyot sharoitida mustaqil O’zbekiston o’zining buyuk kelajagini bilimli, aqlli, mehnatsevar, jasur, ma’naviyati yuksak, jismonan kuchli bo’lgan yosh avlod timsolida ko’radi

9-misol.
Bu Bernulli tenglamasi ( ). Tenglamaning ikkala tomonini noma’lum funksiyaga ko‘paytirib, so‘ngra deb olamiz:
.
Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli bilan yechamiz. Bundan yechimni topamiz, bu yerda . Xullas, . Berilgan tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishda topiladi.
10-misol. .
Bu tenglamaning ikkala tomonini ga bo‘lamiz:
.
Bu Bernulli tenglamasi ( ) bo‘lib, uning ikkala tomonini funksiyaga bo‘lamiz va deb olamiz: .
Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani o‘zgarmasni variatsiyalash usuli bilan yechib, umumiy yechimni topamiz.
Shunday qilib, dastlabki berilgan tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishda topiladi. Bundan tashqari, tenglama yechimga ham ega.
Xullas, berilgan tenglamaning hamma yechimlari ; ko‘rinishda yoziladi.
11-misol. .
Zarur almashtirishlarni bajarib, bu tenglamani

ko‘rinishga keltiramiz. Hosil bo‘lgan Bernulli tenglamasini ( ) yuqoridagi kabi usullar bilan yechish mumkin.
Ammo bu tenglamani Bernulli tenglamasi ko‘rinishiga keltirmasdan ham bevosita yechish mumkin. Haqiqatan ham, va deb olsak, chiziqli tenglama hosil bo‘ladi. Bu chiziqli tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishda topiladi.
Xullas, berilgan tenglamaning umumiy yechimi: .
12-misol. .
Bu Bernulli tenglamasi ( ), lekin uni o‘rniga qo‘yish usulida ham yechish mumkin.
funksiya bu tenglamaning yechimi ekanligi ochiq ravshan. Tenglamaning bo‘lgandagi yechimlarini topamiz. Buning uchun ifodani berilgan tenglamaga qo‘yamiz:
.
sifatida tenglamaning birorta yechimini, masalan, funksiyani olamiz va uni

tenglamaga qo‘yamiz:

Oxirgi tenglamaning ikkala tomonini ifodaga bo‘lishdan hosil bo‘lgan ushbu tenglamani integrallab, ko‘rinishdagi yechimlarni olamiz. Endi esa ekanligini e’tiborga olib, natijani yozamiz: .
13-misol. .
Tenglikning ikkala tarafidan hosila olib, ko‘rinishdagi chiziqli tenglamaga kelamiz. Bu chiziqli tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishda bo‘ladi. Berilgan dastlabki tenglamadan kelib chiqadigan boshlang‘ich shart bajarilishi uchun ga teng bo‘lishi kerak. Shunday qilib, .


14-misol. .
Tenglikning ikkala tarafidan ketma-ket ikki marta hosila olamiz:
.
Bu yerdan boshlang‘ich shart va umumiy yechimni topamiz. Boshlang‘ich shartga ko‘ra, ga teng. Shunday qilib, .