Bu holda Shredinger tenglamasi soddalashib, quyidagi ko'rinishni oladi

3. Zarrachalarning eni cheklangan potensial to'siqdan o'tishi. Tunnel effekti

Energiyasi E bo'lgan x o'qi yo'nalishida harakatlanayotgan zarrachaning yo'lida to’g’ri burchakli, kengligi  va balandligi U bo'lgan potensial to'siq turgan bo'lsin (6.4-rasm). Bunday potensial to’siq uchun quyidagi shart o'rinli bo'ladi,

Zarrachaning energiyasi E < U bo'lganda у to’siqning orqa tomoniga o'ta olish yoki o'ta olmasligini aniqlash talab qilinsin. Klassik mexanikada bunday masala sifatida  tezlik bilan gorizontal silliq joyda harakatlanayotgan jism balandligi h bo'lgan tepalikka duch kelsa, uni bu tepalikdan o'ta olish yoki o'taolmasligini aniqlash masalasini olish mumkin. Klassik mexanikada bunday masalaga osonlikcha javob topish mumkin. Agar jismning kinetik energiyasi m ²/2 > mgh bo'lsa, u to’siqdan o'tadi, agar m²/2 < mgh bo'lsa, u to’siqdan o'taolmaydi, undan orqaga qaytadi. Lekin, kvant mexanikasida zarrachaning energiyasi E U bo'lgan taqdirda ham u to’siqdan orqaga qaytishi mumkin ekan. Bunday bo'lishi birinchi qarashda g’alati ko'rinadi. Lekin Shredinger tenglamasining echimidan shunday natija kelib chiqadi, tajriba ham shunday bo'lishini tasdiqlaydi.

6.4-rasmdagi 1,2,3 sohalar uchun (5.23) ko'rinishdagi Shredinger teglamalarini yechish natijasida olingan funksiyalarning grafiklari ko'rsatilgan.

Rasmda ko'rinadiki, to’lqin funksiya to’siqning ichki qismida ham nolga teng emas. To’siqning kengligi uncha katta bo'lmaganda to’siqdan keyingi 3 sohada ham u o'shanday impuls va chastotadagi de-Broyl to’lqinidan iborat bo'ladi, faqat amplitudasi kichiklashadi. Demak, zarrachaning energiyasi E< U bo'lsa ham, uni to’siqdan o'tish ehtimolligi noldan katta ekan. Shunday qilib, kvant mexanikasi butunlay yangi, o'ziga xos hodisaga duch keldi. Kvant mexanikasida zarrachalarni potensial to’siq orqali o'tishiga tunnel effekti deyiladi.

Tunnel effektini tasvirlash uchun potensial to’siqning shaffoflik koeffitsenti tushunchasi kiritilgan. Shaffoflik koeffitsentini topish uchun xuddi optikadagidek to’siqdan o'tayotgan de-Boryl to’lqini intensivligini, to’siqqa tushayotgan de-Broyl to’lqini intensivligiga bo'lish kerak:

D= (6.18)

Bu koeffitsiyentni de-Broyl to’lqinini to’siqdan o'tish ehtimoli sifatida qabul qilish mumkin. Hisoblashlar to’g’ri burchakli potensial to’siqning shaffoflik koeffitsiyenti

(6.19)

formula bilan aniqlanishini ko'rsatadi.

(6.19) formuladagi D_o o'zgarmas koeffitsentning qiymati 1 ga yaqin. (6.19) formuladan ko'rinadiki, D zarrachaning massasi m ga, to’siqning kengligi ga va energiya farqi (U-E) ga kuchli bog’lik. To’siq qancha keng bo'lsa, zarrachani undan o'tish ehtimolligi shuncha kichik bo'ladi. quyidagi 6.1-jadvalda energiya farqi U-E= 5 eV bo'lganda D ning  ga bog’lik holda o'zgarishi ko'rsatilgan.

6.1-jadval

 ( )	1	1,3	1,5	1,8	2,0	5,0	10,0
D	0,1	0,04	0,03	0,016	0,008	5,5∙10^-7	1,4∙10^-12

Jadvaldan kurinib turibdiki, to’siqning kengligi 1  dan 10 gacha ortganda D bir necha marta kamaymoqda. Dning jadvaldagi oxirgi qiymatlari zarrachani to’siqan umuman o'tmasligini bildiradi. Ixtiyoriy shakldagi potensial to’siqning (6.5-rasm) shaffoflik koeffitsiyenti integrallash bilan topiladi:

D=D₀

bu yerda U=U(x)

Zarrachaning energiyasi Ek+U(x) bo'lsa, U(x)>E bo'lganda E_k<0 bo'ladi. Kvant mexanikasi nuqtai nazaridan qaraganda bunda hech qanday qarama-qarshilik yo'q. Agar zarracha to’siq tomon harakat qilayotgan bo'lsa, u malum bir energiyaga ega. Agar zarrachani to’siq bilan o'zaro ta’siri t vaqt oralig’ida sodir bo'lsa, noaniqliklar munosabatiga ko'ra uning energiyasi Е h / t noaniqlikka ega bo'ladi (6.5-rasm). Agar energiyaning bu noaniqligi E to’siqning balandligi bilan to’liq energiya farqidan katta bo'lsa (E_k >U-E ), zarracha to’siqdan o'tib ketadi. Bu hodisa fizikada tunnel effekt deb ataladi. "Tunnel effekt" tushunchasi o'rniga zarracha to’siqni "teshib o'tadi" deyish ham mumkin. Zarrachalarni potensial to’siq orqali o'tishi ko'p tajribalarda tasdiqlandi. Masalan, metallarda elektronlarning sovuq emissiya hodisasi kuzatiladi. Elektron metaldan vakuumga chiqishi uchun, ya'ni vakuum bilan metall chegarasidagi potensial sakrashni engishi uchun, unga juda katta elektr maydoni ta'sir etish kerak. Lekin tunnel effekti tufayli yuz barovar kichik elektr maydoni tasirida ham metallarda elektronlar emissiyasi sodir bo'laveradi. Qattiq jismlar fizikasida metall bilan yarim o'tkazgich, yarim o'tkazgich bilan yarim o'tkazgich chegarasidan elektr tokini o'tish qonuniyati ham ko'p hollarda shu tunnel effekti bilan tushintiriladi.

Atom yoki molekulalarni klassik fizikada ko'rsatilganidan kichik elektr maydonlari ta'sirida ham ionlashishi tunnel effekti bilan izohlanadi. Bu hodisa fizikada avtoionizatsiya hodisasi deb yuritiladi. Radioaktivlikdagi - sochilish ham shu effekt tufayli yuz beradi.