4. Kvant mexanikasida chiziqli garmonik ossilyator.
Klassik va kvant nazariyalarning ko'p masalalarini echishda elastik kuchga o'xshagan kuch ta'sirida tebranma harakat qiluvchi sistemadan model sifatida foydalaniladi va uni chiziqli garmonik ostsillyator deb ataladi. Prujinali, fizik va matematik mayatniklar garmonik ossillyatorlarga misol bo'la oladi. Garmonik ossillyatorning potensial energiyasi
U= (6.20)
formula bilan aniqlanishi bizga ma'lum. Bu yerda 0 - ossillyatorning xususiy chastotasi, m - ossillyatorning massasi. (6.20) bog’lanish grafigi paraboladan yoki boshqacha aytganda parabola shaklidagi "potensial o'radan" iborat bo'ladi (6.6-rasm).
Ossillyatorning to’liq energiyasi uni potensial va kinetik energiyalarining yig’indisiga teng va u vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi:
Е=Ek +U=m2A2/2 Е=Ek +U=m2A2 (6.21)
(6.21) formula energiyaning saqlanish qonunini ifodalaydi. Doimo potensial energiyaning maksimal qiymati, kinetik energiyaning maksimal qiymatiga va ularning har biri ostsillyatorning to'plagan to’liq energiyasiga teng:
Umax=Ekmax =Е
Energiyaning saqlanish qonuniga ko'ra to’liq energiya ossillyatorga berilgan dastlabki energiyaga teng bo'ladi. Ossillyatorning to’liq energiyasi uni tebranishi davomida potensial va kinetik energiya orasida turlicha taqsimlanadi. Agar 6.6-rasmda ko'rsatilgan grafikda to’liq energiyaga mos joydan gorizontal chiziq o'tkazsak, bu chiziqni koordinatalari x= A bo'ladi, bu yerda A - ostsillyatorning tebranish amplitudasi. Ostsillyator -A, +A oraliqdan chiqa olmaydi. Agar u bu oraliqdan chiqadi desak, uni potensial energiyasi to’liq energiyadan katta bo'lib, energiyaning saqlanish qonuni buziladi. Demak, klassik ossillyator chegaralangan fazo sohasida tebranadi. Yuqorida garmonik ostsillyator haqida yuritgan fikrimiz klassik mexanika nuqtai nazaridan to’g’ri.
Kvant mexanikasida chiziqli garmonik ossillyator - kvant ossilyator deb ataldi. Kvant ossillyatorga misol qilib, kristall panjara tugunida tebranma harakat qilayotgan atomni, molekulani va umuman olganda tebranma harakat qilayotgan har qanday mikrozarrachani olish mumkin.
Kvant ostsillyatori uchun Shredinger tenglamasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:
(6.22)
Bu yerda U= - ossillyatorning potensial energiyasi.
E-ossillyatorning to’liq energiyasi.
Differensial tenglamalar nazariyasidan ma'lumki, (6.22) ko'rinishdagi differensial tenglama energiyaning
En=(n+1/2)h0 (6.23)
bo'lgan xususiy qiymatlarida yechimga ega. (6.23) formuladan ko'rinadiki, kvant ostsilliyator energiyasi diskret qiymatlarni olib o'zgaradi, ya'ni uning energiyasi kvantlanadi. Kvant ossillyatorning ham eng kichik energiyasi vertikal devorli potensial o'ra ichidagi zarrachaning energiyasiga o'xshab, noldan katta bo'ladi. Ossillyatorning bu eng kichik energiyasi (6.23) formuladan n=0 bo'lganda
E0=h 0/2 E0=h0/2
bo'ladi.
Bu minimal energiya - nol tebranish energiyasi deb ham ataladi va uning bo'lishligi noaniqliklar munosabati bilan bevosita bog’liqdir.
Ossillyatorning nol tebranishini mavjudligi zarrachani potensial o'raning tubiga hech qachon tushmasligini ko'rsatadi va bu xulosa har qanday shakldagi "potensial o'ra" uchun ham to’g’ridir. Zarrachani potensial o'raning tubiga tushishi noaniqliklar munosabatiga zid keladi. Chunki, u o'raning tubiga tushgan taqdirda, uning impulsi va impulsining noaniqligi ham nol bo'ladi, koordinatasining noaniqligi esa cheksiz katta bo'lib qoladi. Bu holda zarrachani o'raning ichida bo'lishi ham noaniq bo'lib qoladi. Kvant ossillyatorida nol tebranish energiyasini bo'lishi klassik nazariyaga butunlay zid keladi. Chunki, klassik nazariyada ostsillyatorning eng kichik energiyasi uni tebranmasdan tinch turgan holatiga mos keladi. Haqiqatdan ham, bu vaqtda uning energiyasi nol bo'lishi kerak. Masalan, klassik fizikaga ko'ra temperatura T=0 bo'lganda kristall pajara tugunlaridagi atomlarning tebranma harakat energiyasi ham nol bo'lishi kerak. Shuningdek atomlarning tebranishi tufayli yorug’likning moddada sochilishi ham yo'qolishi kerak. Lekin temperatura absolyut nolga yaqinlashganda (T0) ham yorug’likning moddada sochilishi nol bo'lmasdan, qandaydir o'zgarmas chegara qiymatga intiladi. Bu absolyut nol temperaturada ham atomlar tebranishdan to'xtamasligini, ya'ni nol tebranish energiyasi mavjudligini tasdiqlaydi. Absolyut nolga juda yaqin temperaturada geliyning suyuq holda qolishi ham nol tebranish energiyasi orqali izohlanadi.
(6.23) formuladan ko'rinadiki, ostsillyatorning energiya sathi kvant soni n ga bog’liq bo'lmaydi va ular bir-biridan bir xil oralikda joylashadi (6.6-rasm). Vertikal devorli cheksiz chuqur o'rada bo'lsa, n ortishi bilan energiya sathlari orasidagi masofa ham ortib boradi (6.2-rasm). (6.23) formulada n >>1 (n+1/2 n) bo'lganda ossillyatorning energiya sathlari uchun
En=n . h0
formulani yozish mumkin. Bu formula absolyut qora jism nurlanishining kvant nazariyasini yaratishda M.Plank gipoteza tarzida keltirgan formulaning o'zi.
Kvant garmonik ostsillyatorning n = 0,1 va 2 kvant holatlar uchun to’lqin funksiyasi grafigi 6.7-rasmda ko'rsatilgan. n n -to’lqin funksiyaning nolga aylanadigan nuqtalari to’lqin funksiya tugunlari deb ataladi. 6.7-rasmdan ko'rinadiki, n=0 bo'lganda to’lqin funksiya 0 0(x) faqat x= b o’lgan nuqtalarda nol bo'ladi. Ya'ni, 0 (x) ni ikki chekkasida tugun yo'q. n =1 bo'lganda 1 (x) funksiyani x=0 bo'lgan nuqtada bitta tuguni bor. n=2, bo'lganda 2(x) funksiyani ikkita tuguni bor. Demak, to’lqin funksiyadagi tugunlar soni kvant soniga teng bo'ladi.
Kvant ostsillyator haqidagi masalaning echimidan klassik fizikaga xos bo'lmagan yangi natija kelib chiqadi. Kvant ossillyatori sifatida haralayotgan zarracha klassik fizika nuqtai nazaridan mumkin bo'lmagan sohada ham bo'lishi mumkin. Klassik nuqtai nazardan haraganda zarracha (-A va +A) oraliqdan chiqa olmasligi kerak. Ammo kvant ossillyatori parabola shaklidagi potensial o'radan ham tashqariga chiqishi mumkin.
Kvant ostsillyatorning koordinatalari x dan x+dx gacha bo'lgan sohada bo'lish ehtimolligi.
wкв(х)dx=n(x)2dx
ifoda bilan aniqlanadi
6.8-rasmda n=1 kvant holati uchun kvant mexanikasidagi ehtimollik zichliklari solishtirilgan. Grafikdan ko'rinib turibdiki, kvant ostsillyatori klassik fizika ruxsat etmagan sohada ham bo'lishi mumkin. Bu zarrachaning to’lqin xususiyatidan, bevosita Shredinger tenglamasining yechimidan kelib chiqadi. Bu yechim murakkab bo'lgani uchun biz unga to'xtalmaymiz.
| 
