Boshlang’ich funksiyalar

Agar x bo‘yicha differensiallanuvchi bo‘lgan u(x) , v(x) funksiyalar berilgan bo‘lsa, u holda uv ko‘paytmaning differensiali quyidagi formula bilan hisoblanar edi :

d(uv)=u dv+v du (3)

(3) ning har ikkala tomonini integrallasak:

(4)

(4) formulaga bo‘laklab integrallash formulasi deyiladi.

(4) formula integralni hisoblash integralni hisoblashdan osonroq bo‘lgan holda foydalaniladi.

Bo‘laklab integrallash usuli bilan hisoblanadigan ayrim integrallarni ko‘rib o‘taylik.

I. (P(x) - ko‘phad, k esa biror o‘zgarmas son)

ko‘rinishdagi integrallarni bo‘laklab integrallaganda u=P(x), qolganlarini dv deb olish maqsadga muvofiq bo‘ladi.

II. ko‘rinishdagi integrallarni integrallaganda u deb lnx ,arcsinx ,arccosx, arctgx, arcctgx larni olish kerak.

III. ko‘rinishdagi integrallarni ikki marta bo‘laklab integrallanadi.

1-misol.

2-misol.

3-misol.

Eng sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash

Butun va kasr ratsional funksiyalar umuman ratsional funksiyalar deb ataladi.

Butun ratsional funksiyalarni integrallash integralning asosiy xossalariga ko‘ra bajariladi.



Agar (2) kasr ratsional funksiya berilgan bo‘lib n
Agar kasr noto‘sri bo‘lsa, suratini mahrajiga bo‘lib, berilgan kasrni biror butun ratsional funksiya bilan biror to‘sri kasrning yitsindisi ko‘rinishda ifodalash mumkin, ya’ni

, bu yerda M(x) - butun ratsional funksiya, - to‘sri kasr chunki k
Ko‘phadlarni integrallash hech qanday qiyinchilik tusdirmaydi, shuning uchun biz asosan to‘sri ratsional kasrlarni integrallash bilan shusullanamiz.

Ta’rif. Quyidagi to‘sri ratsional kasrlarga eng sodda ratsional kasrlar deyiladi:

I. ; II. )

III.

IV.

Buerda A,B,a,p,q lar haqiqiy sonlar. kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas, ya’ni D<0 deb qaraladi.

Endi yuqoridagi to‘rtta eng sodda ratsional kasrlarni integrallashni ko‘raylik.

I.

II.

III.

Oxirgi tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi integral ga tengligi ravshan, chunki surati mahrajining hosilasiga teng.

Ikkinchi integralda esa, quyidagi almashtirishlar bajaramiz.