Boshlang’ich funksiyalar

Trigonometrik funksiyalarni integrallash

Biz shu paytgacha algebraik funksiyalarni ya’ni ratsional va irratsional funksiyalarni integrallashni ko‘rdik. Endi (1) ko‘rinishdagi integralni ko‘raylik. Bu integralni har vaqt (2) almashtirish yordamida ratsional funksiyaning integraliga keltirish mumkin.

sinx=

cosx=



Shunday qilib

(3)
(3) ni (1) ga qo‘ysak ratsional funksiyaning integrali hosil bo‘ladi. (2) almashtirish (1) ko‘rinishdagi har qanday integralni integrallashga imkon beradi. Shuning uchun (2) ga universal almashtirish ham deyiladi.
Endi ba’zi bir xususiy xollarni ko‘rib o‘taylik.

1. ko‘rinishdagi integral sinx=t , cosx dx =dt almashtirish bilan

ko‘rinishdagi ratsional funksiyaning integraliga keladi.

2. ko‘rinishdagi integral esa tgx=t , x=arctgt , almashtirish bilan

ko‘rinishga keladi.

3. integralda m va n larning bittasi toq bo‘lsin, masalan n=2p+1 desak



- bu esa t ning ratsional funksiyasidir.

4. integralda m va n lar juft bo‘lib, ularning bittasi manfiy bo‘lsa tgx=t yoki ctgx=t almashtirish bajariladi.

Agar m,n lar manfiy bo‘lmagan juft sonlar bo‘lsa, bu holda



formulalardan foydalaniladi.

5.

ko‘rinishdagi integrallarni hisoblashda quyidagi formulalardan foydalaniladi:



Misol. 1.