Bo’linish alomatlari

Son tushunchasini kengaytirish
Natural sonlar va noldan tashqari kasr sonlar, butun sonlar, ratsional sonlar, irratsional sonlar, haqiqiy sonlar mavjud. Son tushunchasining kengayishi jarayonidagi dastlabki to’plam natural sonlar to’plami N bo’ladi. Juda qadim zamonlarda paydo bo’lgan natural son tushunchasi ko’p asrlar davomida kengaydi va umumlashtirildi. Miqdorlarni aniqroq o’lchashga bo’lgan talab musbat kasr sonlar tushunchasiga olib keldi. Manfiy sonlar tushunchasining paydo bo’lishi tenglamalarni yechish va nazariy izlanishlar bilan bog’liq. Manfiy sonlarning kiritilishi bilan butun sonlar to’plami Z da, hamda ratsional sonlar to’plami Q da nol soni teng huquqli songa aylandi. Bizning eramizgacha V asrda Pifagor maktabida musbat ratsional sonlar kesmalar uzunliklarini aniq o’lchash uchun yetarli emasligi aniqlangan va keyinroq bu muammo hal qilingandan keyin irratsional sonlar paydo bo’lgan. XVI asrda o’nli kasrlarning kiritilishi bilan haqiqiy sonlarga qadam qo’yildi. Haqiqiy sonlar tushunchasi sonlar qatorining oxirgisi emas.
Kasr tuhunchasi
Kasrlarning paydo bo’lish tarixi miqdorlarni o’lchash bilan bog’liq. Masalan, kesma uzunligini o’lchashda kasrlarning paydo bo’lishini aniqlaymiz. a kesma va e birlik kesma berilgan bo’lsin, bunda e kesma har biri e₁ ga teng bo’lgan n ta kesma yig’indisi. Agar a kesma har biri e₁ ga teng m ta kesmadan tuzilgan bo’lsa, uning uzunligi ko’rinishda bo’lishi mumkin. belgi kasr deyiladi. Unda m va n – natural sonlar. Bu belgi quyidagicha o’qiladi: “n dan m”.

n kasrning maxraji, m kasrning surati.

Agar kasrning surati maxrajidan kichik bo’lsa, bunday kasrga to’g’ri kasr, agar kasrning surati maxrajidan katta yoki unga teng bo’lsa, bunday kasrga noto’g’ri kasr deyiladi.

Ta’rif: e uzunlik birligida bitta kesmaning uzunligini ifodalovchi kasrlar teng kasrlar deyiladi. Masalan, va kasrlar e uzunlik birligida bitta kesmaning uzunligini ifodalaydi. Shuning uchun ular teng. =

va kasrlar teng bo’lishi uchun m∙q=n∙p bo’lishi zarur va yetarlidir.

Kasrning asosiy xossasi:

Agar berilgan kasrning surat va maxraji bir xil natural songa ko’paytirilsa yoki bo’linsa, berilgan kasrga teng kasr hosil bo’ladi.

Bu xossadan kasrlarni qisqartirish va umumiy maxrajga keltirish tushunchalari kelib chiqadi.

Kasrlarni qisqartirish – berilgan kasrni unga teng, lekin surat va maxraji undan kichik bo’lgan kasrga almashtirishdir. Masalan, .

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kasrlarni ularga teng, lekin bir xil maxrajli kasrlarga almashtirishdir.

Musbat ratsional son – bu teng kasrlar to’plamidir. Bu to’plamga tegishli har bir kasr shu sonning yozuvidir. Masalan, sonlar to’plami biror musbat ratsional sondir ( ).

Har qanday musbat ratsional son uchun shu sonning yozuvi bo’lgan bitta va faqat bitta qisqarmas kasr mavjud.

Musbat ratsional sonlar to’plamida:

1. Eng kichik son yo’q.

2. Ixtiyoriy ikkita ratsional son orasida Q ning cheksiz ko’p soni bor, ya’ni ratsonal sonlar to’plami o’zida zich to’plam.