Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning turlari

O‘zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar


(1)
tenglamaga n - chi tartibli o‘zgarmas koeffisiyentli birjinsli differensial tenglama deyiladi. Bu yerda o’zgarmas sonlar.
Tenglamaning xususiy yechimi ko’rinishda bo‘lib, u
(2)
- xarakteristik tenglamaning ildizi bo‘lishi kerak. Yechim ko‘rinishi (2) xarakteristik tenglama ildizlariga bog‘liq:

1. 
   (2) tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy va har xil.
   

Bu holda yechimlar tenglamaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi, chunki ular yordamida tuzilgan Vronskiy determinanti noldan farqli.
1-misol. .
Xarakteristik tenglamani tuzamiz
.
=3, =4 bu tenglamaning ildizlaridir. Demak, tenglamaning hususiy yechimlari va berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.

2. 
   (2) tenglamaning ildizlari orasida kompleks yechim mavjud.
   

Xarakteristik tenglama haqiqiy koeffisiyentli bo‘lganligi sababli ildizga qo‘shma bo‘lgan son ham ildiz bo‘ladi. Bu ildizlar bo‘lsin. Bu ildizlarga (1) tenglamaning ko‘rinishdagi ikkita yechim mos keladi.
2-misol. .
Xarakteristik tenglama
.
U ildizlarga ega, demak, berilgan tenglamaning xususiy yechimlari bo’lib, ular chiziqli bog‘lanmagan va

tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
3-misol. Xarakteristik tenglama ildizlari bo‘lgan differensial tenglamaning umumiy yechimini yozing.
Umumiy yechim

ko‘rinishda bo’ladi.

3. 
   Xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida karrali ildiz mavjud.
   

Masalan, tenglamaning karrali ildizi bo‘lsin, bu holda (1) tenglama ta
(3)
ko‘rinishdagi xususiy yechimga ega bo‘ladi. Bu yechimlarni chiziqli bog‘lanmaganligini bevosita Gram determinantidan foydalanmasdan aniqlash mumkin.
(4)
tenglik barcha x lar uchun o‘rinli bo‘lsin, u holda

ko‘phad aynan nolga teng bo‘ladi, bu esa ko‘phadning barcha koeffisiyentlari nol bo‘lgandagina bajarilishi mumkin. Demak, (4) tenglik faqat bo‘lganda bajariladi va bundan (3) chiziqli bog‘lanmagan funksiyalar sistemasini tashkil etadi.
4-misol. Xarakteristik tenglama ildizlari bo‘lgan differensial tenglamaning umumiy yechimini yozing.
to‘rt karrali ildiz bo‘lganligi sababli tenglamaning xususiy yechimlari bo‘ladi; ikki karrali – yechim
Shunday qilib, tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko‘rinishga ega

5-misol. L[y]=0 tenglamaning xarakteristik tenglamasi ildizlari bo‘lsa. uning umumiy yechimini yozing. uch karrali va ikki karrali ildizlar bo‘lganligidan foydalanamiz. Umumiy yechim quyidagi ko‘rinishga ega



(5)
tenglamani qaraymiz. Bu yerda - o‘zgarmas sonlar, da aniqlangan va uzluksiz funksiya.