Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning turlari

Mavzu: Birinchi tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.
Reja:

1. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning turlari;
   
2. 
   Yuqori tartibli differensial tenglamalar turlari va yechish usullari;
   
3. 
   Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.
   

Birinchi tartibli differensial tenglamalar
Ta’rif. Erkli o’zgaruvchi , noma’lum funksiya va uning hosilalari orasidagi ushbu
(1)
funksional bog’lanishga tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.


Ta’rif-2. Tartibi bo’lgan (1) tenglamani intervalda ayniyatga aylantiruvchi funksiyaga, uning yechimi deyiladi. Jumladan, funksiya quyidagi

differensial tenglamaning yechimi ekanligini tekshirish qiyinchilik tug‘dirmaydi.
Ta’rif-3. Yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglamaning umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo’ladi:
. (2)
Kelgusida biz, bu turdagi oddiy differensial tenglamaning ushbu
(3)
Boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishga Koshi masalasi deymiz. Xususan hosilaga nisbatan yechilmagan 1-tartibli differensial tenglama
(4)
ko‘rinishda bo‘ladi. Birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama esa
(5)
ko‘rinishda bo‘ladi.

Ta’rif-4. Hosilaga nisbatan yechilgan (5) differensial tenglamaning
(6)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishga Koshi masalasi deyiladi. Bu yerda va oldindan berilgan haqiqiy sonlardir. Geometrik tilda: tenglamaning nuqtadan o‘tuvchi integral chizig‘ini topishga Koshi masalasi deyiladi.
O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
Ushbu
(7)
ko’rinishdagi differensial tenglamaga o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi. Bu yerdagi va funksiyalar mos ravishda va oraliqlarda aniqlangan uzluksiz deb qaraladi. Bundan ko’rinadiki, (7) differensial tenglamaning o’ng tomoni quyidagi

sohada aniqlangan va uzluksizdir. (7) ko’rinishdagi differensial tenglamaning yechimini topish uchun quyidagi ikki holni ko‘rib chiqamiz:
1-hol. Aytaylik, bo’lsin. U holda (7) differensial tenglamani ushbu

ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab
(8)
munosabatni hosil qilamiz. Ma’lumki, va funksiyalar uzluksiz ekanligidan, ularning mos ravishda va boshlang‘ich funksiyalarining mavjudligi kelib chiqadi. Shuning uchun (1.1.2) tenglikni quyidagi
(9)
ko‘rinishda yozish mumkin. Qaralayotgan holda monoton funksiya bo’ladi. Chunki,

Bundan esa uning teskarisi mavjud ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi (1.1.3) tenglikdan
(10)
funksiyani topamiz. O‘z navbatida bu funksiya qaralayotgan holda (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
2-hol. Aytaylik biror nuqtada bo’lsin. Bu tenglamaning ildizi yordamida aniqlangan o’zgarmas funksiya (7) differensial tenglamaning yechimidan iborat bo’ladi.
Misol 1:O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yeching:
Yechish:

Misol 2: differensial tenglamani yeching
Yechish:

Boshlang‘ich shartdan, , bundan,