Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

Kroneker-Kapelli teoremasi
Ta’rif: Aytaylik (1)
sistema berilgan bo’lsin uni qisqacha
(1)
ko’rinishda yozishga shartlashamiz.
n o’lchovli vektor tushunchasiga ega bo’lganimizdan so’ng (1) ning xar bir echimini (agar u mavjud bo’lsa) < > o’lchovli vektor deb qarashimiz mumkin.
Ta’rif:
Matritsalarni mos ravishda (1) sistemaning asosiy matritsasi va kengaytirilgan matritsasi deyiladi.
Teorema: (Kroneker-Kaelli). (1) tenglamalar sistemasi birgalashgan bo’lishi uchun R(A)=R(B) bo’lishi zaruriy va etarlidir.


Qavariq konus


Qavariq konus (och ko'k). Uning ichida och qizil qavariq konus barcha nuqtalardan iborat ax + βy tasvirlangan uchun a, b> 0 bilan x va y. Yuqoridagi o'ngdagi egri chiziqlar mintaqalarning cheksiz darajada bo'lishini anglatadi.
Qavariq konuslar va affin to’plamlar.
Qavariq konuslar va affin to’plamlar qavariq to’plamlarning muhim sinfini tashkil etadi.
3- t a’ r i f. Agar barcha uchun bo’lsa, - konus deyiladi.
Boshqacha aytganda, agar - konus bo’lsa, u o’zining ixtiyoriy nuqtasidan o’tuvchi va uchi nolda bo’lgan nurni to’liq o’zida saqlaydi.
Agar barcha uchun bo’lsa, - qavariq konus deyiladi. Qavariq konus, bir vaqtning o’zida, ham qavariq to’plam, ham konusdir (5-chizma).

a) b)
5- chizma.
4-t a’ r i f. Agar va barcha uchun, bo’lsa, - affin to’plam deyiladi. Affin to’plam o’zining ixtiyoriy ikki nuqtasidan o’tuvchi to’g’ri chiziqni to’liq saqlaydi.
Affin to’plamlar sodda tuzilishga ega. Buni quyidagi teorema tasdiqlaydi.

1. 
   teorema. - affin to’plam bo’lsin. U holda:
   

a) ixtiyoriy uchun to’plam da chiziqli qism fazo bo’ladi; bunda nuqtaning tanlanishiga bog’liq emas;
b) ni quyidagicha tasvirlash mumkin:
, (1)
bu yerda - o’lchovli matrisa, - uning satrlaridan tuzilgan vektorlar, .

1. 
   tasvir ko’rsatdiki, affin to’plam chekli sondagi gipertekisliklar kesishmasidan iborat.
   

ga affin to’plamga parallel chiziqli qism fazo deyiladi.
1-teoremadan kelib chiqadiki, affin to’plam yopiqdir; agar bo’lsa, affin to’plam ichki nuqtalarga ega emas ( ).


Oltin kesim usuli.
Bu usul unimodal funksiyalar uchun qo’llaniladi.
3-ta’rif. Agar shunday nuqta mavjud bo’lsaki, f(x) funksiya nuqtadan chapda kamayuvchi (ya’ni x₁,x₂ [a,b], ), o’ngda esa o’suvchi (ya’ni x₁,x₂ [a,b], ), bo’lsa, bu funksiya [a,b] kesmada unimodal deyiladi (I-chizma ).
Unimodal funksiya quyidagi xossalarga ega.
Agar funksiya kecmada unimodal bo’lca, u ixtiyoriy kecmada ham unimodal bo’ladi.
2⁰. Agar funksiya kecmada uzlukciz va unimodal bo’lca, u yagona lokal minimumga ega. Boshqacha aytganda, bunday funksiyalar uchun lokal minimum global minimum ham bo’ladi.
3⁰. nuqtalar bo’yicha unimodal funksiyaning , kecmadagi minimum nuqtacini lokallashtirish mumkin: agar bo’lca, lokallashtirish kecmaci - , bo’lganda eca lokallashtirish kecmaci - bo’ladi.
4-ta’rif. Agar kesmani shunday ikkita teng bo’lmagan bo’laklarga bo’lish mumkin bo’lsaki, kesma uzunligining uning katta qismi uzunligiga nisbati, katta qism uzunligining kichik qism uzunligining nisbatiga teng bo’lsa, bu bo’linish kesmaning oltin kecimi deb ataladi.
Quyidagi, nuqtalar kecmada oltin kecim hosil qiladilar (bu yerda ). Ta’rifga acocan,


Kesmaning “oltin kecimi” quyidagi xossalarga ega.
1⁰. kesmada oltin kesim hosil qiluvchi nuqtalar kesmaning o’rtasiga nisbatan simmetrik joylashgan:

2⁰. nuqtalar kesmada oltin kesim hosil qilsin. U holda; nuqtalr kesmada oltin kesim hosil qiladi.