Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

TA’RIF. (1) sistemaning ixtiyoriy yechimi (4) sistemaning yechimi bo’lsa, u holda

sistema (1) sistemaning natijasi deyiladi.
TA’RIF.
ko’rinishdagi tengsizliklik (bu yerda λ₁≥0, ... , λ_m≥0) (2) sistemaning manfiymas chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
TEOREMA. (2) sistemaning ixtiyoriy manfiymas chiziqli kombinatsiyasi bu sistemaning natijasi bo’ladi.
ISBOTI. (5) tengsizlik (2) sistemaning manfiymas chiziqli kombinatsiyasi bo’lsin. ξ ∈ Rⁿ (2) sistemaning ixtiyoriy yechimi bo’lsin:

(6) dagi i – tengsizlikni λ_i (i =1,2, … ,m) ga ko’paytirib, hosil bo’lgan tengsizliklarni qo’shsak,  

tengsizlikni hosil qilamiz. Shunday qilib, (5) tengsizlik (2) sistemaning natijasi bo’ladi.
𝒱 − ℜ haqiqiy sonlar maydoni ustidagi arifmetik vektor fazo bo’lsin. 𝒱 = ℜⁿ bo’lib, a₁,a₂, …, a_m vektorlar 𝒱 ga tegishli.
TA’RIF   tengsizliklar sistemasi bir jinsli tengsizliklar sistemasi deyiladi.
TA’RIF. Qo’shish va skalyar (manfiymas haqiqiy sonlar)ga ko’paytirish amallariga nisbatan yopiq 𝒱 vektor fazoning bo’sh bo’lmagan vektorlar to’plami 𝒱 fazoning qavariq konusi deyiladi.
MISOLLAR. 1.  to’plam ℜⁿ fazoning qavariq konusi bo’ladi. Bu konus   vektordan hosil bo’lgan yarim to’g’ri chiziq deyiladi.
2. ℜⁿ fazoga tegishli a₁,a₂, …, a_m vektor sistemaning barcha manfiymas chiziqli kombinatsiyalari to’plami bu fazoning qavariq konusi bo’ladi. Bu to’plamni L⁺( a₁,a₂, …, a_m) kabi belgilanadi.
3. 𝒱=ℛⁿ bo’lib, ℒ fazo 𝒱 fazoning fazoostisi va L uning asosiy to’plami bo’lsa, L to’plam 𝒱 fazoning qavariq konusi bo’ladi.
4. Bir jinsli tengsizliklar sistemasining barcha manfiymas yechimlari to’plami 𝒱 fazoning qavariq konusi bo’ladi.
TEOREMA. (1’) bir jinsli chiziqli tengsizliklar sistemasining barcha yechimlari to’plami 𝒱 fazoning qavariq konusi bo’ladi.
Chiziqli tengsizliklar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri Minkovskiy teoremasidir.