Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

1-misol. funksiya x→0, y→0 bo‘lganda limitga ega, chunki ma’lum x²+ y²≥2|x||y| tengsizlikka asosan
.
2-misol. funksiya x→0, y→0 bo‘lganda limitga ega emasligini ko‘rsatamiz. Buning uchun y=kx deb olamiz, ya’ni O(0,0) nuqtaga to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha yaqinlashamiz. Bu holda
.
Bu yerdan ko‘rinadiki limit qiymati barcha k uchun bir xil bo‘lmasdan, k o‘zgarishi bilan u ham o‘zgaradi va shu sababli bu limit mavjud emas.
3-misol. funksiyaning x→0, y→0 holda limiti qanday bo‘lishini tekshiramiz. Bunda y=kx deb olsak
.
Demak, O(0,0) nuqtaga ixtiyoriy to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha yaqinlashganimizda limit qiymati bir xil va nolga teng. Ammo hali bundan berilgan limit mavjud va uning qiymati nol deya olmaymiz, chunki bu natija ixtiyoriy yo‘nalish bo‘yicha bir xil bo‘lishi kerak. Masalan, y=kx², ya’ni parabola bo‘yicha yaqinlashishni qaraymiz:
.
Bu holda limit qiymati k qiymatiga bog‘liq bo‘lmoqda. Demak,qaralayotgan funksiyaning x→0, y→0 bo‘lganda limiti mavjud emas ekan.
Yuqorida 7-ta’rif orqali aniqlangan limitda funksiyaning ikkala argumenti x va y bir paytda x₀va y₀ sonlariga intiladi deb olamiz va bunda

karrali limit deb yuritiladi. Ammo bu yerda x yoki y argumentlarni u yoki bu tartibda x₀yoki y₀ sonlariga ketma-ket yaqinlashtirib,

limitlarni ham hosil etish mumkin. Bular takroriy limitlar deb ataladi va ularni hisoblash osonroq.
4-misol. f(x,y)=3x+5xy–y² funksiyaning x→2, y→–3 holdagi takroriy limitlarini qaraymiz :
,
.
Demak, bu funksiya uchun ikkala takroriy limit mavjud va ular o‘zaro teng.