Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

6—xossa. va funksiyalar oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
Nyuton–Leybnis formulasi. Ushbu bandda, funksiyalarning aniq integrallarini hisoblashda keng qo’llanadigan formulani keltiramiz.
Ma’lumki, funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda

funksiya shu oraliqda funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi. Bu bir tomondan.
Ikkinchi tomondan, funksiyaning ixtiyoriy boshlang’ich
funksiyasi berilgan boshlang’ich funksiya dan ixtiyoriy o’zgar-mas qo’shiluvchiga farq qiladi, ya’ni

bo’ladi. Bu tenglikdan, avval deb,
so’ngra deb
tengliklarni topamiz. va tengliklardan ixtiyoriy boshlang’ich funksiya uchun ushbu
formula kelib chiqadi. Bu formula Nyuton–Leybnis formlasi deb ataladi.
Odatda, tenglikning o’ng tomonidagi ayrima kabi yoziladi: Demak,
Masalan, .
2⁰. O’zgaruvchilarni almashtirish usuli. funksiya oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Ravshanki, mavjud bo’ladi.
Faraz qilaylik, aniq integralda o’zgaruvchi ushbu formula bilan almashtirilgan bo’lib, bunda quyidagi shartlar bajarilgan bo’lsin:
a) funksiya biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz, o’z-garuvchi oralida o’zgarganda funksiyaning qiymatlari oraliqdan chiqmaydi;
b) ;
v) funksiya oraliqda uzluksiz hosilaga ega.
U holda

tenglik o’rinli bo’ladi.
◄ funksiyaning oraliqda boshlang’ich funksiyasi uchun formula o’rinli.
oraliqda funksiyani qaraylik. Bu funksiya oraliqda uzluksiz va
.
Keyingi tenglikdan ekanini e’tiborga olib topamiz:
.
Bu esa funksiya da funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lishini bildiradi. Nyuton–Leybnis formulasiga ko’ra,

Demak,
.
Shunday qilib, va munosabatlardan tenglik kelib chiqadi. ►
9.4 –misol. Quyidagi

integralni o’zgaruvchani almashtirish usuli bilan hisoblansin.
◄ Bu integralda almashtirishni bajaramiz. U holda formulaga ko’ra topamiz:

3⁰. Bo’laklab integrallash usuli. va funksiyalarning har biri oraliqda va hosilalarga ega bo’lsin. U holda

formula o’rinli bo’ladi.
◄ Ravshanki,

Demak, funksiya oraliqda funksiya-ning boshlang’ich funksiyasi bo’lib, Nyuton–Leybnis formulasiga ko’ra

bo’ladi. Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz:
.
Bu tenglikdan esa kelib chiqadi. ►
formula integralni hisoblashni integralni hisoblashga olib keladi. Bunda hamda shunday tanlash lozimki, integral imkoniyat boricha sodda hisoblansin.
9.5–misol. integral hisoblansin.
◄ Agar deb olinsa, u holda

bo’lib, formulaga ko’ra topamiz.
►