Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

Annotatsiya: Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi har doim birgalikda, chunki har doim sistemaning yechimi boʻladi. Bir jinsli sistema uchun munosabat oʻrinli boʻlsa, sistema aniq boʻlib, yagona nol( yoki trivial) yechimga ega.
Kalit so’zlar: bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi, fundamental yechimlar sistemasi, aniqlik shartlari, bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi.


1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining notrivial yechimi mavjudlik sharti.
1-misol. Quyidagi sistemani yeching:
_4x₁  x₂  3x₃  x₄  0,
^2x  3x  x  5x  0,
^ 1 2 3 4

^x  2x  2x  3x
 0.

Yechish. Bu sistemadan
 1 2 3 4

 ^{2x2  2x4  0,
} 7x  5x 11x  0,
^ 2 3 4

^x  2x  2x  3x
 0.

 1 2 3 4

sistemani hosil qilamiz. Agar ozod had sifatida x₄
qarasak. U holda
noma’lumni olib,
x₄   , deb

x  ³  ,
1 ₅
x₂   ,
x  ⁴  ,
3 ₅
x₄  

koʻrinishdagi yechimlarni hosil qilamiz.

Ushbu holda har bir nolmas yechim n oʻlchovli vektor sifatida qaralishi mumkin.
Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlari quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Agar
   

X₀  (b₁,b₂ ,...,b_n )
vektor ^{AX } sistemaning yechimi boʻlsa, u holda

^k ixtiyoriy son boʻlganda ham
yechimi boʻladi.
kX₀  (k b₁,k b₂ ,...,k b_n )
vektor ham bu sistemaning

2. 
   Agar
   

X₀  (b₁,b₂ ,...,b_n ) va
X₁  (c₁,c₂ ,...,c_n )
vektorlar ^{AX } sistemaning

yechimlari boʻlsa, u holda sistemaning yechimi boʻladi.
X₀  X₁  (b₁  c₁,b₂  c₂ ,...,b_n  c_n )
vektor ham bu

Shuning uchun bir jinsli sistema yechimlarining har qanday chiziqli
kombinatsiyasi ham uning yechimi boʻla oladi.
Bir jinsli boʻlmagan sistema yechimlari uchun yuqoridagi da’vo oʻrinli emas.
 ^a₁₁   ^a₁₂   ^a_1k 
 _a   _a   _a 

A  ^
21 _,
A  ^
22 _,
..., A  ^
2k _

¹  
²  
^k  

 _a   _a   _a 

 n1  
n2 
 nk 

n oʻlchovli vektorlar sistemasini ko‘rib chiqamiz.

1. 
   ta’rif. Agar
   

x₁ A₁  x₂ A₂  ...  x_k A_k
  tenglikni qanoatlantiruvchi kamida

bittasi noldan farqli
x₁ , x₂ ,..., x_k
sonlar mavjud boʻlsa, u holda
A₁, A₂ ,..., A_k
vektorlar

sistemasi chiziqli bog‘liq vektorlar sistemasi deb ataladi.

Aks holda, yani faqat
x₁  x₂  ...  x_k  0
boʻlgandagina

x₁ A₁  x₂ A₂  ...  x_k A_k
  tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda
A₁, A₂ ,..., A_k
vektorlar

sistemasi chiziqli erkli vektorlar sistemasi deb ataladi.

Izoh.
x₁ A₁  x₂ A₂  ...  x_k A_k
  vektor bir jinsli tenglamalar sistemasini

ifodalaydi. Masalan,

A  ^{1 },
A  ^{ 2},
_{A  } 1_

vektorlar sistemasini qaraymiz.

1  ₂ 2  ₃  3  ₂ 
     
x₁ A₁  x₂ A₂  x₃ A₃  
vektordan quyidagi algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
_x₁  2x₂  x₃  0,
^2x  3x  2x  0.
 1 2 3

Bu sistemaning yechimlarini Gauss usulida topamiz.

_x  2x  x  0,
_x₁  7x₃ ,

_ 1 2 3
 ^x  4x ,

• 
  x  4x
  

 0.
^ 2 3

 2 3
^x  R .

 3

Koʻrinib turibdiki, tenglamalar sistemasi cheksiz koʻp yechimga ega.
x₃ 1, deb

olsak,
x₁  7,
x₂  4
qiymatlarni topamiz. Ya’ni,
7A₁  4A₂  A₃  .

Demak, ta’rifga asosan, qaralayotgan vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq. Yuqorida aytib oʻtilgan bir jinsli tenglamalar sistemasining xossalari va
Kroneker-Kapelli teoremasiga asosan quyidagi tasdiqni hosil qilamiz.

Tasdiq. Agar
A₁, A₂ ,..., A_k
vektorlar sistemasining rangi
r( A₁,..., A_k )
vektorlar

soni ^k dan kichik boʻlsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq boʻladi. Agar

r  k
boʻlsa, u holda
A₁, A₂ ,..., A_k
vektorlar sistemasi chiziqli erkli boʻladi.

Haqiqatan ham
A1, A2 ,..., Ak
vektorlar sistemasining rangi, ta’rifga asosan,

matritsa rangiga teng. Shartga asosan k  n , r( A)  min(n, k)  n  k . U holda
AX  tenglamada noma’lumlar soni tenglamalar sistemasi rangidan katta. Demak, sistema trivial boʻlmagan (noldan farqli) yechimga ega, ya’ni, vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq.
2. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi.

2. 
   ta’rif. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday maksimal sondagi chiziqli erkli sistemasi bu tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi deb ataladi.
   

2. 
   teorema. AX  tenglamalar sistemasining har qanday yechimi fundamental
   

yechimlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasidan iborat.

Isbot.
X1, X2 ,..., Xk
vektorlar sistemasi AX  tenglamalar sistemasining

fundamental yechimlari sistemasi boʻlsin.
X ₀ vektor esa tenglamalar sistemasining

boshqa ixtiyoriy yechimi boʻlsin. U holda, ta’rifga asosan,
X0 , X1, X 2 ,..., Xk
vektorlar

shaklda ifodalanadi.
Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:

2. 
   teorema. Bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasining rangi r ga teng boʻlib, sistema noma’lumlari soni n dan kichik boʻlsin. U holda tenglamalar sistemasining
   

fundamental yechimlar sistemasi n  r ta nolmas vektorlardan iborat boʻladi.
Teoremadan koʻrinib turibdiki, fundamental yechimlar sistemasidagi vektorlar soni bu sistemaga mos erkli oʻzgaruvchilar soniga teng ekan.
Bir jinsli sistemaning fundamental yechimlari sistemasini quyidagicha qurishimiz mumkin:

1. 
   Bir jinsli sistemaning rangi topiladi;
   

2. 
   n  r
   

ta erkli oʻzgaruvchilarga qiymat beramiz. Buning uchun n  r
oʻlchovli

n  r ta vektorlardan iborat chiziqli erkli vektorlar sistemasi tanlanadi. Bunda

masalan, har bir vektori n  r
oʻlchovli
A  (1,0,...,0)^T ,
A  (0,1,...,0)^T ,...,

1

2
A  (0,0,...,1)^T sistemani tanlash mumkin;

nr

3. 
   Erkli noma’lumlar oʻrniga yuqorida tanlangan
   

A₁ vektorning mos

koordinatalarini qoʻyib, bazis noma’lumlar aniqlanadi va
F₁ quriladi. Xuddi shunday

usulda
A2 , A3 ,..., Anr
vektorlardan foydalanib, mos ravishda
F2 ,
F₃, ...,
Fnr

yechimlar quriladi.
F1, F2 ,..., Fnr

^{ a}11 ^a12
^ a a

A  ^

21 22

^ a a
 n1 n2
matritsa rangiga teng. Shartga asosan ^{k  n} , r( A)  min(n, k)  n  k . U holda
^{AX } tenglamada noma’lumlar soni tenglamalar sistemasi rangidan katta. Demak, sistema trivial boʻlmagan (noldan farqli) yechimga ega, ya’ni, vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq.
2. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi.

3. 
   ta’rif. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday maksimal sondagi chiziqli erkli sistemasi bu tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi deb ataladi.
   

2. 
   teorema. ^{AX } tenglamalar sistemasining har qanday yechimi fundamental
   

yechimlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasidan iborat.

Isbot.
X₁, X₂ ,..., X_k
vektorlar sistemasi ^{AX } tenglamalar sistemasining

fundamental yechimlari sistemasi boʻlsin.
X ₀ vektor esa tenglamalar sistemasining

boshqa ixtiyoriy yechimi boʻlsin. U holda, ta’rifga asosan,
X₀ , X₁, X ₂ ,..., X_k
vektorlar

shaklda ifodalanadi.
Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:

2. 
   teorema. Bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasining rangi ^r ga teng boʻlib, sistema noma’lumlari soni n dan kichik boʻlsin. U holda tenglamalar sistemasining
   

fundamental yechimlar sistemasi n  r ta nolmas vektorlardan iborat boʻladi.
Teoremadan koʻrinib turibdiki, fundamental yechimlar sistemasidagi vektorlar soni bu sistemaga mos erkli oʻzgaruvchilar soniga teng ekan.
Bir jinsli sistemaning fundamental yechimlari sistemasini quyidagicha qurishimiz mumkin:

4. 
   Bir jinsli sistemaning rangi topiladi;
   

5. 
   n  r
   

ta erkli oʻzgaruvchilarga qiymat beramiz. Buning uchun n  r
oʻlchovli

n  r ta vektorlardan iborat chiziqli erkli vektorlar sistemasi tanlanadi. Bunda

masalan, har bir vektori n  r
oʻlchovli
A  (1,0,...,0)^T ,
A  (0,1,...,0)^T ,...,

1

2
A  (0,0,...,1)^T sistemani tanlash mumkin;

nr

6. 
   Erkli noma’lumlar oʻrniga yuqorida tanlangan
   

A₁ vektorning mos

koordinatalarini qoʻyib, bazis noma’lumlar aniqlanadi va
F₁ quriladi. Xuddi shunday

usulda
A₂ , A₃ ,..., A_nr
vektorlardan foydalanib, mos ravishda
F₂ ,
F₃, .. ^Fnr

yechimlar quriladi.
F₁, F₂ ,..., F_nr

vektorlar sistemasining rangi ularning qismi boʻlgan