«Bir belgisizli birinshi dárejeli salıstırmalardı sheshiw»

Juwmaqlar: 1. Eger bоlsa, (1) diń sheshimi bar hám jalǵız.
2. bolıp,
a) shın bоlsa, sheshim joq;
v) shın bоlsa, (1) salıstırma dana sheshimge iye.
Mısallar. 1. bоlǵanı ushın sheshim jalǵız boladı. modul bоyınsha shegirmelerdiń tolıq sistemalı dan ibarat. Tuwrıdan-tuwrı tekserip kóriw menen sheshim ekenligine isenim payda etemiz.
2. ; biraq bоlǵanı ushın bul salıstırma sheshimge iye emes.
3. bоlǵanı ushın salıstırma úsh sheshimge iye boladı. Haqıyqatında da salıstırmanı formada jazıp alamız. bolǵanı ushın bul salıstırma 5 modul boyınsha jalǵız sheshimge iye boladı. Haqıyqatında da,

sheshim esaplanadı.
Berilgen salıstırmanıń sheshimi yamasa dan ibarat.
Bul sheshim menen birgelikte yamasa te sheshim boladı.
a hám b pútin sanlardı pútin oń m sanına bólgende birdey qaldıq qalatuǵın, yaǵnıy,
a = mq₁ + r hám b = mq₂ + r,
bolsa, a hám b sanlar teń qaldıqlı yamasa m modul boyınsha óz-ara salıstırılatuǵın sanlar dep aytıladı hám tómendegishe jazıladı: a ≡ b (mod m)
“a san b menen m modul boyınsha salıstırıladı” dep oqıladı.
Eger a ≡ b (mod m) bolsa, onda a – b ayırma m ǵa qaldıqsız bólinedi, hám kerisinshe, eger a hám b sanlardıń ayırması m ǵa bólinse, onda a ≡ b (mod m) orınlı boladı (salıstırmanıń mánisi haqqındaǵı teorema).
Hár qanday pútin san m modul boyınsha óziniń qaldıǵı menen salıstırıladı, yaǵnıy, eger a = mq + r bolsa, onda a ≡ r (mod m) boladı.
Dara jaǵdayda, eger r = 0 bolsa, onda a ≡ 0 (mod m) boladı; bul salıstırma m | a ekenligin, yaǵnıy m sanı a nıń bóliwshisi ekenligin bildiredi, kerisinshe de orınlı, eger m|a bolsa, onda a ≡ 0 (mod m) dep jazıladı.
Salıstırmalardıń tiykarǵı qásiyetleri (teńliklerdiń qásiyetlerine uqsas) Eger a ≡cs (mod m) hám b ≡ c (mod m) bolsa, onda a≡b(modm) boladı.

1. 
   Eger a ≡ b (mod m) hám c ≡ d (mod m) bolsa, onda a ± c ≡ b± d (mod m) boladı.
   
2. 
   Eger a + b ≡ c (mod m) bolsa, onda a ≡ c - b (mod m) boladı.
   
3. 
   Eger a ≡ b (mod m) bolsa, onda a ± mk ≡ b (mod m), yamasa a ≡ b ± mk (mod m) boladı.
   
4. 
   Eger a ≡ b (mod m) hám c ≡ d (mod m) bolsa, onda ac≡bd(mod m) boladı.
   
5. 
   Eger a ≡ b (mod m) bolsa, onda aⁿ ≡ bⁿ (mod m) boladı.
   
6. 
   Eger a ≡ b (mod m) bolsa, onda qálegen k pútin san ushın ak ≡ bk (mod m) boladı.
   
7. 
   Eger ak ≡ bk (mod m) hám (k,m) = 1 bolsa, onda a ≡ b (mod m) boladı.
   
8. 
   Eger f(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + ... + a_n (a_i ∈ ) hám x ≡ x₁ (mod m) bolsa, onda f(x) ≡ f(x₁) (mod m) boladı.
   

Salıstırmalardıń arnawlı qásiyetleri
1. Eger a ≡ b (mod m) bolsa, onda k∈ ushın ak ≡ bk (mod mk) boladı.
2. Eger a ≡ b (mod m) hám a = a₁ d, b = b₁ d, m = m₁ d bolsa, onda a₁ ≡ b₁ (mod m₁) boladı.

3. 
   Eger a ≡ b (mod m₁), a ≡ b (mod m₂), ..., a ( b (mod m_k) bolsa, onda a ≡ b (mod M) boladı, bul jerde M = [m₁, m₂,..., m_k].
   
4. 
   Eger salıstırma m modul boyınsha orınlı bolsa, onda bul salıstırma m niń qálegen bóliwshisi bolǵan d modul boyınsha da orınlı boladı.
   
5. 
   Eger salıstırmanıń bir tárepi qálegen bir sanǵa bólinse, onda onıń ekinshi tárepiniń de moduli de sol sanǵa teń bólinedi.
   

1-Misal. Tómendegi shártlerdi salıstırmalar járdeminde jazıń:

1. 
   219 hám 128 sanlardı 7 ge bólgende birdey qaldıq qaladı;
   
2. 
   (-352) sanın 31 ge bólingeninde qaldıq 20 ǵa teń boladı;
   
3. 
   487-7 ayırma 12 ge bólinedi;
   

d) 20 – sanı 389 di 41 ge bólgendegi qaldıqtan ibarat;
e) N sanı jup;
f) N sanı taq;
g) N sanınıń kórinisi 4k + 1 den ibarat;
h) N sanınıń kórinisi 10k + 3 ten ibarat;
i) N sanınıń kórinisi 8k – 3 ten ibarat.
Sheshiliwi. Salıstırmanıń mánisi haqqındǵı teoremaǵa tiykarlanıp:
a) 219 ≡ 128 (mod 7);
b) –352 ≡ 20 (mod 31);
c) 487 ≡ 7 (mod 12);
d) 389 ≡ 20 (mod 41);
e) N ≡ 0 (mod 2);
f) N ≡ 1 yamasa -1 (mod 2);
g) N ≡ 1 (mod 4);
h) N ≡ 3(mod 10);
i) N ≡ -3 (mod 8).
2-Mısal. Tómendegi shártti qanaalandıratuǵın m niń mánislerin tabıń:
20 ≡ 8 (mod m).
Sheshiliwi. m niń mánisleri (salıstırmanıń mánisi haqqındaǵı teoremaǵa tiykarlanıp) 20 – 8 = 12 niń bóliwshilerinen ibarat, yaǵnıy: 1; 2; 3; 4; 6; 12.
3-Mısal. 2⁵ⁿ – 1 diń 31 ge bóliniwin dáliylleń (n ∈ ).
Sheshiliwi. 2⁵ – 1 = 31 bolǵanlıǵı ushın 2⁵ ≡ 1 (mod 31). Bul salıstırmanıń eki tárepin (6-qásiyetke tiykarlanıp) n dárejege kóterip, 2⁵ⁿ ≡ 1 (mod 31) di payda etemiz, bul bolsa 31| (2⁵ⁿ – 1) di ańlatadı.
4-Mısal. 2¹⁰⁰ sanınıń aqırǵı eki cifrasın tabıń.
Sheshiliwi. Berilgen sannıń aqırǵı eki cifrası bul sandı 100 ge bólgende payda bolatuǵın qaldıqtan ibarat. Demek, tómendegi salıstırmanı qanaatlandıratuǵın x sanın tabıw talap etiledi:
2¹⁰⁰ ≡ x (mod 100).
Ekiniń kishi dárejelerinen baslap, 100 ge bólgende payda bolatuǵın qaldıqlardı izbe-iz ajıratamız:
2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = (1024)¹⁰; (1024)¹⁰ ≡ (24)¹⁰ (mod 100).
(24)¹⁰ = (576)⁵ ≡ 76 ⁵ ≡ (76)⁴⋅76 = (5776)²⋅76 ≡ (76)²⋅76 = 5776⋅76 ≡ 76² ≡5776 ≡ 76(mod 100).
Solay etip, 2¹⁰⁰ sanınıń aqırǵı eki cifrası 7 hám 6 dan ibarat.