Bernulli lemniskatasining ba’zi bir tatbiqlari

Bernulli lemniskatasining ba’zi bir tatbiqlari

Mazkur mavzuni o’rganar ekanmiz har qanday funksiya grafigini chizishda uning xarakteristik nuqtalari ya’ni aniqlanish sohasi limitik nuqtalari, funksiya grafigining koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalari, funksiyaga ekstremum beruvchi nuqtalar, funksiya nollari, egilish(bukilish) nuqtalarini tekshiramiz.

1.Kassini ovali deb shunday nuqtalarning geometrik o ‘rniga aytiladiki, ulardan har birining fokuslar deb ataluvchi m a’lum ikki nuqtagacha bo'lgan masofalarining ko'paytmasi o ‘zgarmas bo'ladi. Fokuslar oralig'ini bilan, masofalarning ko'paytmasini bilan belgilaymiz. 1- chizmada ko'rsatilganidek, to ‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasini olamiz va egri chiziqning tenglamasini tuzamiz: ovalning nuqtasi bo'lsin,u holda va =; ni soddalashtirib, tenglamani hosil qilamiz.



1-rasm

Tenglamaga kiruvchi a va с harflarning har xil qiymatlarida

ro'y berishi mumkin bo'lgan barcha hollarni tekshiramiz.
2. Вi r i n с h i h о 1. a = c. Bunda tenglama quyidagi ko'rinishga
ega bo'ladi:

Qutb koordinatalari ga o’tsak, hosil bo’ladi.

Hosil qilingan egri chiziq Kassini ovalining bir ko'rinishidir.
Bu egri chiziqni mashhur matematik Yakov Bernulli tekshirgan,
shuning uchun u Bernulli lemniskatasi deb ataladi. (Egri chiziqning
nomi grekcha lemniskos, ya’ni o'rov degan ma’noni bildiruvchi
so‘zdan kelib chiqqan.)

3.Qutb koordinatalar sistemasida ko’rinishida berilgan funksiya grafigini yasash uchun undan y=f(x) funksiya quramiz va tekshiramiz.
Lemniskata grafigini uning qutb tenglamasi bo'yicha yasaymiz.
Tenglamaning chap tomonida manfiy bo‘lmagan miqdor
turgani uchun uning o ‘ng tomoni ham manfiy qiymatlar qabul
qila olmaydi, demak, ya’ni

,;

Radius vektor va nolga aylanishini ko’ramiz.

qiymatga qiymat mos keladi,
qutb burchagi ortishi bilan ning absolut qiymati kamayadi va

da bo’ladi. Egri chiziq О nuqtaga

nisbatan simmetrik, chunki qutb burchagining har bir mumkin
bo'lgan qiymatiga radius-vektorning egri chiziq tenglamasini qanoatlantiradigan ikkita (musbat va manfiy) qiymati mos keladi. Egri chiziq koordinata o'qlari bilan ustma-ust tushadigan ikkita simmetriya o ‘qiga ham ega.
4.Bernulli lemniskatasi ko'pgina ajoyib matematik xossalarga ega. Shuningdek texnikada va fizikada amaliy tatbiq qilinadi. (Texnikada lemniskatadan temir va tramvay yo’llarining kichik radiusli burilishlarini hisoblashda foydalaniladi)

Integrallashning eng soda qoidalaridan va yuzning qutb koordinatalaridagi formulasidan foydalanib, lemniskata ichiga joylashgan qismning yuzini hisoblashimiz mumkin.

3- chizma

Shunday qilib, egri chiziq ikkita yaprog'ining yuzi tomoni ga teng bo‘lgan kvadrat yuziga teng ekan (3- chizma).

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YHATI

1.A.S.Yunusov,S.I.Afonina,M.A.Berdiqulov”Qiziqarli matematikavaolimpiadamasalalari” Toshkent-2007.

2.A.G’aziyev,I.Israilov,M.Yaxshiboyev “Funksiyalarvagraflar” Toshkent- 2006.

3.V.V.Vavilovning”Задача по математике.Начала анализа ”.

Mualliflar haqida ma’lumot

1. (Qurbonnazarov Abdimumin Ibraximovich – o’qituvchi, Termiz davlat universiteti, telefon: [phone], [e-mail])

2. (Ibragimova Nozima - Termiz davlat universiteti fizika matematika fakulteti matematika ta’lim yo’nalishi 208 –guruh talabasi, telefon: [phone])