Bernulli formulasi va Muavr-Laplas, Puasson teoremalari

2. MUAVR-LAPLASNING LOKAL VA
INTEGRAL TEOREMALARI


Lokal limit teorema. Biz Teorema 1.2 da Bernulli formulasining tayinlangan har bir uchun da asimptotik kо‘rinishini hosil qilgan edik. Ushbu paragrafda bо‘lgan holni qaraymiz va Bernulli formulasining asimptotik holatini о‘rganamiz.
Yuqorida ta’kidlab о‘tilganidek, , va faqat bо‘lgan holni qarash bilan kifoyalanish mumkin.
Ushbu

belgilashlarni kiritamiz va matematik analizdan ma’lum bо‘lgan ushbu

Stirling formulasidan foydalanamiz. Bu formulaga kо‘ra

Bu tenglikdan
(3.1)
Ravshanki, (3.1) formuladagi

ifodani nomer yetarlicha katta bо‘lganda bir bilan almashtirish mumkin. Shuning uchun bu formuladan
(3.2)
munosabatni yoza olamiz. Bundan keyin (3.2) formulada va sonlarni tayinlangan deb hisoblaymiz. Bu formulada har doim
,
hamda faqat va bо‘lganda
.
Haqiqatan ham bu ifodaning logarifmi
.
Uni bо‘yicha differensiallasak,
. (3.3)
Oxirgi tenglikning о‘ng tomoni musbat bо‘lishi uchun

tengsizlik bajarilishi zarur. Bu tengsizlikni

shaklida yozib olamiz va uni soddalashtirgandan sо‘ng munosabatni olamiz. Xuddi shu kabi (3.3) tenglikning о‘ng tomoni manfiy bо‘lishi uchun bо‘lishini topamiz. Shunday qilib, nuqtada

va agar butun son deb faraz qilsak, (3.2) formuladan

ekanligini kо‘ramiz. YA’ni dastlabki ta tajribada muvaffaqiyatlar soni bо‘lish ehtimolligi tajribalar soni cheksiz ortganda tartibda nolga yaqinlashib boradi.
Agarda miqdor tayinlangan va bо‘lsa, yuqorida ta’kidlanganidek,
.
Bu holda (3.2) formula shuni bildiradiki, ehtimollik da geometrik progressiya tezligida nolga intiladi.
Ravshanki,
.
Tabiiyki, sonning qiymati atrofida shunday soha topiladiki, bu sohada
.
Bu mulohazaning tо‘g‘riligi quyidagi lokal limit teoremada о‘z aksini topadi.
Teorema 3.1. Ushbu

belgilashni kiritaylik. Agar tayinlangan va , bо‘lsin. U holda nomerning , , tengsizlik bajariluvchi har qanday о‘zgarishi uchun
(3.4)
munosabat о‘rinli.
Isbot. Teorema shartiga kо‘ra . U holda belgilashimizga kо‘ra

va
.

Demak, (3.2) munosabatda nisbiy xatolik bо‘yicha da nolga tekis yaqinlashadi. О‘z navbatida
(3.5)
va
. (3.6)
Oxirgi ikkita tengliklardan

va
.
Shunday qilib, (3.2) munosabatda kо‘paytma nomer cheksiz ortishi bilan miqdorga yaqinlashib boradi, ya’ni
. (3.7)
Endi (3.2) formuladagi ikkinchi kо‘paytmani
(3.8)
shaklda yozib olamiz hamda dastlab va miqdorlarni tahlil qilamiz. Funksiyaning Teylor qatoriga yoyish haqidagi teoremaga kо‘ra
.
Bu formuladan hamda (3.5) va (3.6) tengliklardan foydalanib, ushbu
(3.9)
va
(3.10)

tengliklarni hosil qilamiz. Yuqoridagi (3.8)–(3.10) munosabatlarni birgalikda qarasak, belgilashlarimizga kо‘ra,

Elementar almashtirishlardan sung oxirgi formuladan quyidagi asmptotik formulaga kelamiz:
. (3.11)
(3.2), (3.7) va (3.11) munosabatlarni birgalikda qarasak,

yaqinlashishga kelamiz. Bu esa (3.4) munosabatga teng kuchli.
Teorema isbot bо‘ldi.