Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti fizika kafedrasi radioelektronika

1.2. Signal spektri. Spektral diagrammalar
Umuman olganda, barcha elektr tebranishlarining asosiy parametrlari toasodifiy bo’lgan qonuniyat bo’yicha o’zgaradi. Shuning uchun ularning hech birini aniq funksia orqali yozish mumkin emas. Lekin, ko’p tebranishlar paranetrining to’satdan o’zgarishi shunday kichik bo’ladiki, ularni hisobga olmasa ham bo’ladi. Bunday tebranishlar vaqt bo’yicha aniq funksiya orqali yoziladi va u aniqlangan signal hisoblanadi. Lekin ularning matematik yozilishi juda murakkab bo’lishi mumkin. Shuning uchun aniqlangan signallarni o’rganishda xarakterlovchi funksiyaning ma’lum darajadagi aniqlik bilan tekshirilayotgan tebranishni gavdalantiradigan soda formulasini topish talab qilinadi. Boshqacha qilib aytganda, tebranishi 6 ( 5 ) funksiya orqali yozilsa ma’lum bir vaqt oralig’ida ungacha yaqin bo’lgan f ( 5 ) funksiyani tanlash lozim. Bunda 6 ( 5 ) va f ( 5 ) funksiyalarining bir-biriga qanchalik yaqin bo’lishi uni baholash usuli bilan belgilanadi.

Ko’pincha 6 ( 5 ) funksiyani chiziqli ko’p holatlarning yig’indisi deb qaraladi.

Bunda funksiyalar ko’pligi basis (asos) Sistema deb ataladi. Agar funksiyaning basis sistemasi ma’lum bo’lsa, 6 ( 5 ) tebranish С₁ koeffitsientlar orqali to’liq xarakterlanadi. U 6 (5) tebranishining spektri deb ataladi. С₁ koeffitsientlarni aniqlash funksiya qanday tanlanganligiga bog’liq. Agar u ixtiyoriy bo’lsa, С₁ ni hisoblash juda qiyin bo’ladi. Shuning uchun ko’pincha basis funksiya sifatida o’rta normal funksiya olinadi. Uning (а,b) oraliqdagi o’rta normal qiymati quyidagi ko’rinishda yoziladi:

0 agar 8к bo’lsa

 agar 8 =к bo’lsa.

U holda

bo’lib, 6 ( 5 )aniqlangan tebranish

qator orqali yoziladi. Bu qator umumlashtirilgan Fure qatori deb ataladi. (1.3) yordamida o’rganilayotgan signal funksiyasini tuzuvchilarga ajratish eng qulay usul bo’lib hisoblanadi. Biroq o’rta normal  basis funksiyalarining cheksiz ko’p bo’lishi hisoblashlarni qiyinlashtiradi. Shuning uchun amalda masala shartining qo’yilishiga qarab bazis funksiya sistemasini tanlashda basis funksiyalarining cheksiz ko’p bo’lishi hisoblashlarni qiyinlashtiradi. (1.3) qatorining eng kam sondagi holatlarini olishga harakat qilinadi. Bazis funksiyani tanlash usullari juda ko’p. Shulardan eng ko’p tarqalgani , signalni gormonik tebranishlar yig’indisi deb qarash bo’lib hisoblanadi.

Agar aniqlangan signal davriy bo’lsa, uning funksiyasi gormonik tebrabishlar yig’indisi ko’rinishida (Fure qatori) quyidagicha yoziladi

Bunda, natural sonlar, boshlang’ich chastota Т-tebranish davri, а₀, а_n va b_n-Fure koeffitsientlari. Fure koeffitsientlari qatordagi gormonik tuzuvchilarning amplitudasini xarakterlaydi va quyidagicha aniqlanadi:

(1.5)

Ko’pincha, Fure qatorini fazalari jihatidan farq qiladigan bir xil funksiyalar yig’indisi deb qarash qulay bo’ladi.

Bunda

Kompleks holatda (1.4а) formula quyidagicha hisoblanadi

Bu yerda
Bundagi manfiy chastotalar ifodani kompleks deb qarailishiga bog’liq bo’lib, u fizik qiymatga ega emas. Demak, y(t) davriy funksiya n chastotali gormonik tuzuvchilar yig’indisiga teng. Uninghar bir tuzuvchisi signal gormonikasi deb ataladi n ga to’g’ri keladigani gormonika asosi yoki birinchi gormonika , qolganlari - yuqori gormonikalar deb ataladi. Qatorning o’zi esa, signal spektri bo’ladi. _ өзгермей калатуғын у(t) funksiyaning bir davr ichidagi o’rtacha qiymatini ifodalaydigan kattalik.

Signal spektridagi gormonikalarning amplitudasi va boshlang’ich fazasi tartib nomeri n ga bog’liq miqdorlar bo’lgani uchun u ikki xil turli spektrga ajratiladi

1.Amplituda-chastotali spektr-С_n=C_n (n₀),

2. Faza-chastotali spektr-_n=_nn₀).

Ular spectral diagrammalarda ko’rsatildi. Buning uchun absissalar o’qiga yasovchilarning tartib raqami n yoki chastotasi n₀ ordinatalar o’qiga esa ularning amplitudasi yoki boshlang’ich fazasiga moslashtirilgan to’g’ri chiziq kesimlari vertikal holda joylashtiriladi (rasm). Ordinatalar o’qiga esa ularning amplitudasi yoki boshlang’ich fazasiga moslashtirilgan to’g’ri chiziq kesimlari vertikal holatda joylashtiriladi (rasm).

С n С1 С2 С3 С7 С0 - С4 С6 С5 п0 1 2 3 4 5 6 7 а)

n 3 2 4 7 1 5 0 - 6 п0 1 2 3 4 5 6 7 b)

1.1-rasm. Murakkab signalning amplituda-chastotali (а) va faza-chastotali (b)spektral diakrammasi.

1.1-rasmdagi spektral diagrammalar shuni ko’rsatadiki, davriy funksiya orqali ifodalanuvchi signalning spektri chiziqli ya’ni diskret bo’lib, bir-biridan _ miqdorga siljigan bo’ladi. Shuni aytish kerakki, qatordagi ayrim tuzuvchilar amplitudasi nolga teng bo’lib, diagrammada chiziqli bo’lmasligi mumkin. муғдарға жылжыған болады.

Agar signal davriy bo’lmasa, uning spektri Fure integrali orqali ifodalanadi. Matematika kursidan ma’lumki, Fure integralini hosil qilishda davriy bo’lmagan funksiya davri cheksizlikka teng davriy funksiya deb qaraladi, ya’ni Fure koeffitsientlari ifodasini qatorga qo’yib  holat uchun limit olinadi. Agar u Fure qatorining kompleks ifodasi uchun bajarilsa, quyidagicha tenglama hosil bo’ladi:

Bu Furening teskari almashtirishi deb ataladi.

esa Furening to’g’ri almashtirishi deb ataladi.

spectral funksiya yoki amplitudalarining spektral zichligi deb ataladi. U birlik chastota oralig’iga to’g’ri keluvchi signal spektrini ifodalaydi va spektral diagrammada spektr chziziqlarining uchlarini qoplovchi tutashtiruvchi chiziq deb qaraladi.

Davriy signalning tebranish davri ortishi bilan spektr chiziqlari zichlanib, amplitudalari kamaya boshlaydi. Bunda spektrning zichlanishi boshlang’ich spektr chiziqlari orasida yangi tashkil etuvchilari hosil bo’lishi bilan bog’liq bo’lganligi uchun amplitudalarining kamayishi ularni tutashtiruvchi chiziqning o’zgarishsiz qolishini ta’minlaydi. Masalan, tebranish davri to’rt marta ortsa, spectral chiziqlar soni ham to’rt marta ortib, amplitudalari to’rt marta kamayadi. Biroq, ularning tutashtiruvchi chizig'i boshlang’ich holatini saqlaydi. (1-2-rasm). Shunga qarab davriy bo’lmagan signal davri cheksizlikka teng davriy funksiya deb qaralgani uchun Fure integralini amplitudalari cheksiz kichik bo’lgan cheksiz sondagi gormonik tebranishlar yig’indisi deb qarash kerak. Uning spektr chiziqlari bir-biridan ajralmagan bo’ladi.

Demak, davriy bo’lmagan signal spektri tekis bo’ladi.

С Т1 Qoplovchi с сызы3 n  0 20 30 40 50 60 Сn 

Spektral diagrammalar yordamida signal spektrining kengligini kuzatish mumkin. Lekin bu maqsadda Fure qatoridan to’g’ridan-to’g’ri foydalanish mumkin emas. U yordamida signalning qisqartirilgan spektrini aniqlash mumkin. Buning uchun qatordagi amplitudalari kichik bo’lgan sathlar, ya’ni ko’rilayotgan holda ta’siri kichik bo’lgan tuzuvchilar hisobga olinmaydi. Shunga qarab signal spektri kengligi deganda qisqartirilgan qator joylashishadigan chastotalar shkalasi qabul qilinadi. Uning quyi va yuqori chastotalar oralig’i signal spektrining kengligi deyiladi.

Т 5

1.3-rasm. To’g’ri burchakli davriy impulslar ketma-ketligi.

Davri T va amplitudasi E ga teng bo’lgan to’g’ri burchakli impulslar ketma-ketligining spektrini aniqlaylik. Oson bo’lishi uchun ordinatalar o’qini shunday o’tkazaylikki, ko’rilayotgan signalimiz funksiyasi U(t) juft funksiya bo’lsin (1.3-rasm). (1.5) va (1.5a) ifodalardan Fure koeffitsientlarini aniqlab, (1.4a) ifodasiga qo’yamiz. Keyin soddalashtirib ko’rilayotgan signalimizning Fure qatorini hosil qilamiz.

Bunda Бунд t _u- impulsning davom etish vaqti.

Demak, ko’rilayotgan murakkab signalimiz cheksiz sondagi gormonik tuzuvchilarga ega bo’lib, uning spektri cheksiz. Bunda har bir n- tuzuvchining amplitudasi kattalikka bog’liq holatda o’zgaradi. Tartib raqamining ortishi bilan ularning amplitudasi kamayib boradi, shuning uchun sinusning sinusning ortishi argumentning ortishidan asta-sekin bo’ladi.

Tuzuvchilar fazalari funksiyaning argumentiga bog’liq. bo’lgamda u nolga aylanadi. Shuning uchun spektrdagi chastotali gormonika nolga teng bo’ladi. Bundan boshqa tengsizlikni qanoatlantiruvchi n-ning qiymatlarida kattalik manfiy bo’ladi. Shu qiymatlardagi tuzuvchilarning fazalari ham manfiy bo’ladi. Ularning amplitudalari avval ortadi. Keyinchalik kamayib, qiymatida nolga aylanadi. Keyin bu yana takrorlanadi.

1.4-rasm. To’g’ri burchakli davriy impulslar ketma-ketligining amplitude-chastotali (а) va faza-chastota (б) spectral diagrammalari.

Demak, tuzuvchilarning amplitudasi nolga teng nuqtadan o’tishda spektrdagi tuzuvchilarning fazalari sakrash bilan  miqdorga o’zgaradi. Ikki nol amolitudali tuzuvchi orasidagi tuzuvchilarning boshlang’ich fazalari o’zgarmas bo’lib, son qiymati nolga teng . Ko’rilayotgan signalimizning spectral diagrammalari 1.4-rasmda ko’rsatilgan. Unda ikki nol amplitudali gormonik tuzuvchi orasida yotadigan tuzuvchilarining soni impulsining to’ldirish koeffitsienti deb ataladigan kattalikka bogliq. Uning eng kichik qiymati birga teng bo’lib, to’ldirish koeffitsientining bahosiga to’g’ri keladi.

Impulsning takrorlanish chastotasi o’zgarmas bo’lganda to’ldirish koeffitsientining kamayishi bilan spektrning nol amplitudali tuzuvchilarining miqdori oshib boradi. Bunda spektrdagi boshlang’ich tuzuvchilar amplitudasi n-ning ortishi bilan kamayishi uzayadi va ular tenglasha boshlaydi. Shuning uchun to’ldirish koeffitsientining bu xususiyatidan radiolokatsiyada keng foydalaniladi.