Berdaq nomidagi Qaraqalpoq davlat unversiteti

Misollar:

1.Ikki elementdan iborat to’plamda ,{b},X} sistemaning topologiya bo’lishini ko’rsating.

Yechimi.

Topologiya aksimalarining bajarilishini tekshiramiz :

1. 
   Τ sistemaning berilishiga ko’ra
   
2. 
   
   

{b}

2. metrik fazoda barcha ochiq to’plamlardan iborat τ sistemaning topologiya bo’lishini ko’rsating.

Yeshimi.

τ sistemaga tegishli to’plamlarning ixtiyoriy birlashmasi va chekli sondagi S= kesishmasining ochiq to’plam bo’lishini ko’rsatamiz.

to’plamga tegishli ixtiyoriy x nuqta olaylik. U holda bu nuqta birlashmadagi to’plamlarning kamida bittasiga, aytaylik, to’plamga tegishli bo’ladi. to’plam ochiq bo’ganligidan, nuqtaning bu to’plamda yotadigan atirofi mavjud .Natijada munosabatni yoza olamiz.Bu munosabatdan to’plamning ochiq ekanligi kelib chiqadi.

Endi S= to’plamdan ixtiyoriy nuqta olaylik . Bu nuqta to’plamlarning har biriga tegishli bo’ladi. nuqtaning . to’plamda yotadigan = atrofini olamiz . Bundan nuqtaning atrofi uchun , munosabatni yoza olamiz . U holda , yani ochiq to’plam .

topologik fazoda yopiq to’plamning chekli sondagi birlashmasi yopiq

Yechimi.

fazoda berilgan ixtiyoriy yopiq to’plam biror ochiq to’plamning to’ldiruvchisi bo’ladi, yani . Bundan yani ochiq to’plam .

4. topologik fazoda ochiq, yopiq to’plamlar bo’lsa u holda ayirmaning ochiq to’plam bo’lishini ko’rsating.

Yechimi.

3-misolga ko’ra ochiq to’plam. Bundan

(

Tengligi va topologiyaning ikkinchi aksiomasiga ko’ra to;plam ochiq bo’ladi.

5. topologik fazoning ixtiyoriy qism to’plami uchun

Tenglikning o’rinli ekanligini isbotlang.

Yechimi.

to’plamdan ixtiyoriy element olaylik. bo’lganligidan , uning to’plam bilan kesishmaydigan , yani to’plam ichida yotadigan atrofi mavjud . Bundan
yani
munosabatning o’rinli ekanligi kelib chiqadi.

Endi bo’lsin, ochiq bo’lganligidan, uni nuqtaning atrofi sifatida olish mumkin. munosabat o’rinli bo’lganligidan, . Bundan ekanligi kelib chiqadi, yani

. Demek, Shunday qilib berilgan tenglikning to’g’ri ekanligi isbotlandi.

6. topologik fazoda toplam yopilmasi quydagi xossalarga ega ekanligini isbotlang:

a)

b)agar bo’lsa, u holda ;

c) ;

d)[[

Yechimi.

1. 
   to’plamning xohlagan nuqtasi shu to’plamning o’ziga urinish nuqta bo’lganligidan,
   
2. 
   to’plamga tegishli xohlagan nuqtaning har bir atirofida to’plamning ,demak, to’plamning kamida bita elementi mavjud bo’lgani uchun yani ;
   
3. 
   munosabatlar va b) xossadan
   

munosabat kelib chiqadi.

Endi to’plamdan xohlagan nuqta olib deb faraz qilamiz. U holda nuqtaning va to’plamlar bilan kesishmaydigan atrofi mavjud bo’ladi. Bundan

( ,

Yani [ .Biz ziddiyatdan munosabatning o’rinli ekanligi kelib chiqadi.

4. 
   A) xossadan munosabati o’rinli.
   

[[M]] to’plamdan olingan ixtiyoriy nuqtaning har bir atrofiga to’plamning kamida bitta nuqtasi yotadi . to’plam nuqta uchun atrof bo’ladi.Demak, bu atrofda to’plamning kamida bir nuqtasi bor, yani demak,

7. Sanoqli bazaga ega topologik fazoning separabelligini isbotlang.

Yechimi.

{ sistema fazoning biror sanoqli bazasi bo’lsin. Bu bazaning har bir elementidan ixtiyoriy nuqta olaylik. sanoqli to’plam fazoning hamma yerida zich ekanligini ko’rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, yani bo’lsin. U holda bosh bo’lmagan ochiq to’plam bo’lganligidan, uni bazaga tegishli biror to’plamlarning birlashmasi ko’rinishda ifodalash mumkin. bo’lganligidan , munosabat o’rinli bo’lishi mumkin emas, chunki .Demak,