Бакалаврская работа на тему

Пример 1 ( № 1 из журнала «Математика в школе» [ 6, С. 9]).
Дан угол 
, вершина которого не поместилась на чертеже, и произ-
вольная точка в пределах чертеже. Проведите через точку прямую так, 
чтобы она прошла и через 
вершину .
Решение: 
Через точку проведем про-
извольную прямую , как по-
казано на (Рис. 6). Симмет-
рично ей отобразим данный 
угол, его образом будет угол 
. По свойству движе-
ния они равны. Рис. 6 
D 
В 
М 
b 
а 
Е 

---

22 
Проведем прямую через точки 
и 
. После чего, отобразим ее от-
носительно прямой а, получив в результате 
. Покажем, что 
- искомая 
прямая. 
Действительно, при осевой симметрии пересечение фигур (угла 
и прямой ) отобразится на пересечение их образов (угол BDE и прямую ). 
Значит, прямая проходит через точку . Через точку 
она также прохо-
дит, поскольку при отображении все точки, лежащие на оси симметрии, пе-
реходят в себя. 
Пример 2 ( № 5 из журнала «Квант» [23, С. 17]).
Продолжения боковых сторон 
и 
равнобедренной трапеции 
пересекаются в точке . Докажите, что окружности, описанные около 
треугольников 
и 
, пересекаются в центре окружности, описанной 
около данной трапеции. 
Решение: 
Треугольник 
- равнобедренный. Его высота 
является его осью 
симметрии (Рис. 7). Пунктирная окружность, проходящая через точки 
, 
есть отображение окружности, проходящей через точки 
при симмет-
рии относительно оси 
. 
Рис. 7 
Треугольник 
- равнобедренный. Его высота 
является его осью 
симметрии (Рис. 7). Пунктирная окружность, проходящая через точки 
, 
М 
А 
В 
D 
C 
L 

---

23 
есть отображение окружности, проходящей через точки 
при симмет-
рии относительно оси 
. При этом точка пересечения окружности с осью 
симметрии 
отображается на себя – точку пересечения пунктирной 
окружности с осью симметрии. 
Отсюда следует, что при данной симметрии дуга 
симметрична дуге 
, а дуга 
равна дуге 
, откуда следует равенство этих четырех дуг. По-
этому равны и хорды , стягивающие эти дуги, так что точка К является цен-
тром окружности, описанной около трапеции 
[23, С. 17].