Бакалаврская работа на тему

Пример 1 ( № 3 из журнала «Математика в школе» [6, С. 9]).
Во внешней области параллелограмма 
на сторонах 
и 
построены равносторонние треугольники. Докажите, что вершины тре-
угольников и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат 
одной прямой. 
Решение: 
Рис. 10 
Построенные треугольники равносторонние, поэтому можно сказать, 
что углы 
и 
и 
симметричны относительно точки пересе-
чения диагоналей параллелограмма (Рис. 10). 
Применив утверждение (при центральной симметрии пересечение фи-
гур отображается на пересечение образов) к этим углам, получаем, что точки 
и симметричны относительно точки , а из этого следует их принадлеж-
ность одной прямой. 
Пример 2 ( № 4 из журнала «Квант» [23, С. 17]).
В окружность вписан четырехугольник 
. Докажите , что прямые, 
проведенные через середины его сторон перпендикулярно соответствующим 
противоположным сторонам, пересекаются в одной точке 
А 
D 
F 
В 
С 
Е 
О 

---

27 
Решение: 
Рис. 11 
Пусть точки 
- середины сторон 
соответственно 
(Рис. 11). Прямые, проведенные через точки 
перпендикулярно со-
ответственно сторонам
, пересекаются в центре данной 
окружности- точке . Ясно, что четырехугольник 
параллелограмм. 
Пусть - его центр симметрии. При центральной симметрии с центром 
в точке точки 
симметричны соответственно точкам
Пусть 
-прямые, проходящие через точки 
соответственно, 
перпендикулярные сторонам 
Очевидно, что при центральной 
симметрии с центром прямые 
являются образами прямых 
соответственно (при центральной симметрии прямая перехо-
дит в параллельную ей прямую). 
Отсюда следует утверждение задачи : прямые 
пересекаются в 
одной точке - образе точки при центральной симметрии с центром в . 
M 
B 
А 
D 
K 
F 
C 
N 
O 
E 
P 

---

28