Bajardi: 20. 04-guruh talabasi: G. Ergasheva Ilmiy rahbar

Ikki karrali integral ta’rifi. Ikki karrali integralni ta’riflashdan avval ba’zi bir tushunchalar, jumladan sohaning bo’lishi, funksiyaning integral yig’indisi tushunchalari bilan tanishamiz.
Biror chegaralangan soha berilgan bo’lsin. sohaning chegarasidagi ixtiyoriy ikki nuqtani birlashtiruvchi va butunlay shu sohada yotuvchi chiziqni ( egri chiziqni ) chiziq deb ataymiz. Bunday chiziqlar ham sohani bo’laklarga ajratadi. Bu sohani bo’laklarga ajratuvchi chekli sondagi chiziqlar sistemasi sohaning bo’linishi deb ataladi va kabi belgilanadi. sohani bo’laklarga ajratuvchi har bir chiziq bo’linishning bo’luvchi chizig’I, sohaning bo’lagi esa bo’linishning bo’lagi deyiladi. bo’linish bo’laklari diametrining eng kattasi bo’linishning diametric deb ataladi va kabi belgilanadi.
1-misol . bo’lsin.
Quyidagi

chiziqlar sistemasi sohaning bo’linishini,

chiziqlar sistemasi esa shu sohaning boshqa bo’linishi bo’ladi. Ularning diametri ga teng.
Demak, soha berilgan holda, bu sohani turli usullar bilan bo’linishlarini tuzish mumkin. Natijada sohaning bo’linishlar to’plami hosil bo’ladi. Uni deb belgilaylik.
funksiya sohada berilgan bo’lsin. Bu sohaning bo’linishini va bu bo’linishning har bir bo’lagida ixtiyoriy nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymati ni ga ko’paytirib qo’yadi

yig’indini tuzamiz.
1-ta’rif. Ushbu

yig’indi, funksiyaning integral yig’indisi yoki deb ataladi.
2-misol. funksiyaning sohadagi integral yig’indisi

bo’ladi, bunda

Ushbu

funksiyaning integral yig’indisi quyidagicha bo’ladi :

Yuqorida keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki, funksiyaning integral yig’indisi qaralayotgan funksiyaga, sohaning bo’linish usuliga hamda xar bir dan olingan nuqtalarga bog’liq bo’ladi, ya’ni

funksiyaga chegaralangan sohada berilgan bo’lsin. Bu sohaning shunday

bo’linishlarini qaraymizki, ularning diametrlaridan tashkil topgan

ketma – ketlik nolga intilsin : Bunday bo’linishlarga nisbatan funksiyaning integral yig’indisini tuzamiz.

Natijada sohaning bo’linishlar ketma – ketligi olinganda ham, unga mos integral yig’indi qiymatlaridan iborat ketma – ketlik, nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda hamma vaqt bitta songa intilsa, bu ga yig’indining limiti deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
Integral yig’indining limitini quyidagicha ham ta’riflash mumkin.
2-ta’rif. Agar son olinganda ham, shunday son topilsaki, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’linishi hamda har bir bo’lakdagi ixtiyoriy lar uchun

tengsizlik bajarilsa, u holda ga yig’indining limiti deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
Endi funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integiralining ta’rifini keltiramiz.
3-ta’rif Agar da funksiyaning integiral yig’indisi chekli limitga ega bo’lsa, funksiya sohada funksiya deyiladi. Bu yig’indining chekli limiti esa funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integrali (Riman integrali ) deyiladi va u

kabi belgilanadi. Demak,

Birinchi punktda keltirilgan jismning xajmi funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integralidan iborat ekan.
3-misol. funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integralini topamiz. Bu funksiyaning integral yig’indisi

bo’lib, da bo’ladi. Demak,
xususan, bo’lganda

bo’ladi.
Ushbu punktda funksiyaning sohada integral yig’indisini topgan edik. Uning ifodasi hamda integral ta’rifidan bu funksiyaning sohada integrallanuvchi emasligi kelib chiqadi.