Б. Файзуллаева 1 12-тема. Несобственные интегралы

Теорема 6(Критерий Коши). Для сходимости интеграла
необходимо 
и достаточно, чтобы для 
существовало такое число
, что если 
, то

---

Доц. Б. Файзуллаева 
4 
 
Доказательство. Сходимость интеграла (2) означает существование конечного 
предела функции (1), т.е. 
при , а этот предел, согласно критерию Коши для 
предела функций, существует в том и только в том случае, когда функция 
удовлетворяет условию 
 
Из формулы (1) в силу свойств интеграла следует, что 
. 
Поэтому условие (7), являясь необходимым и достаточным для сходимости интеграла (2), 
выполняется тогда и только тогда, когда выполняется условие (6). 
Теорема 7.  Если сходится интеграл
, то так же сходится интеграл 
Теорема 8. Из сходимости интеграла  
 не всегда следует сходимость 
интеграла  
 т.е. для некоторых функций расходится интеграл
а 
интеграл
сходится. 
Например, интеграл
сходится, но интеграл 
является расходящимся. 
Определение 3. Если сходится интеграл 
то интеграл
называется абсолютно сходящимся, а функция
называется абсолютно 
интегрируемым на промежутке
Определение 4. Если сходится интеграл 
а интеграл
расходится, то интеграл
называется условно сходящимся. 
Теорема 9.(Признак Дирихле). Пусть функции 
и заданы на промежутке
и удовлетворяют следующие условия: 
1) функция 
непрерывна на промежутке и на этом промежутке имеет 
ограниченную первообразную
;
2) функция 
имеет непрерывную производную
на промежутке ; 
3) функция 
монотонна на ; 
4)
. Тогда интеграл
сходится.