Avzu. Matematik statistikaning predmeti va asosiy masalalari. Tanlanma

i nchi qism to’rtburchakning yuzi i nchi oraliq variantalari nisbiy chastotalarining yig’indisi ga teng; binobarin, nisbiy chastotalar gistogrammasining yuzi barcha nisbiy chastotalar yig’indisiga, ya’ni birga teng.
mavzu. Statistik baho. Statistik bahoga qo’yiladigan talablar. Tanlanma o’rtacha va tanlanma dispersiya
Statistik baholash nazariyasi masalaning qo’yilishi nuqtai nazaridan parametrik va noparametrik hollarga bo’linadi.
Agar bosh to’plamning miqdoriy belgisini o’rganish talab etilgan bo’lsa, bu belgining taqsimotini aniqlaydigan parametrlarni baholash masalasi yuzaga keladi. Masalan, o’rganilayotgan belgi bosh to’plamda normal taqsimlanganligi oldindan ma’lum bo’lsa, u holda matematik kutilmani va o’rtacha kvadratik chetla–nishni baholash (taqribiy hisoblash) zarur, chunki bu ikki para–metr normal taqsimotni to’liq aniqlaydi.
Odatda tanlamadagi ma’lumotlargina, masalan, miqdoriy belgining o’zaro bog’liqmas deb faraz qilinuvchi ta kuzatuv natijasida olingan , , ... , qiymatlari ixtiyorda bo’ladi. Baholanayotgan belgi xuddi shu ma’lumotlar orqali ifodalanadi. , , ... , larni bog’liqmas , ,... , tasodifiy miqdorlar deb qarab, nazariy taqsimot noma’lum parametrining statistik bahosini topish kuzatilayotgan tasodifiy miqdorlarning baholanayotgan parametr taqribiy qiymatini beruvchi funktsiyasini topishga teng kuchlidir deyish mumkin. Masalan, normal taqsimot–ning matematik kutilmasini baholash uchun belgining kuzatiladigan qiymatlarining o’rta arifmetik qiymati bo’ladigan funktsiya xizmat qiladi.
Shunday qilib, nazariy taqsimot noma’lum parametrining statistik bahosi deb kuzatiladigan tasodifiy miqdorlarning ma’lum statistik ma’noda shu parametr haqiqiy qiymatiga yaqin funktsiyasiga aytiladi.
Statistik bahoning baholanayotgan parametr haqiqiy qiymatiga yaqinligini aniqlaydigan eng muhim xossalari siljimaganlik, asoslilik va effektivlik xossalaridir.
nazariy taqsimotning noma’lum parametrining statistik bahosi bo’lsin. Bosh to’plamdan ko’p marotalab hajmli tanlanmalar olib, umuman olganda, bir–biridan farq qiluvchi , , ... , baholarni olish mumkin. Shunday qilib, bahoni tasodifiy miqdor sifatida, , , ... , sonlarni esa uning mumkin bo’lgan qiymatlari sifatida qarash mumkin.
Agar baho ning taqribiy qiymatini ortig’i bilan bersa, u holda tanlanmadagi ma’lumotlar bo’yicha topilgan har bir ( ) son ning haqiqiy qiymatidan katta bo’ladi. Bu holda tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi (o’rtacha qiymati) ham dan katta, ya’ni bo’lishi ravshan. Agar bahoni kami bilan bersa, u holda bo’lishi muqarrar.
Bu erdan matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga teng bo’lmagan statistik bahodan foydalanish o’lchashlar natijalarini tayinli bitta tomonga buzib ko’rsatuvchi tasodifiy bo’lmagan xatolar bo’lmish tizimli xatolarga olib kelishi ko’rinib turibdi. Shu sababga ko’ra, baho matematik kutilmasining ba–holanayotgan parametrga tengligi ning ba’zi qiymatlari dan katta, boshqalari esa kichik ekanligi tufayli xatolarni yo’qotmasa ham, lekin tizimli xatolarga yo’l qo’yilmasligini kafolatlaydi, chunki har xil ishorali xatolar deyarli teng miqdorda uchraydi.
Agar statistik bahoning matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga ixtiyoriy hajmdagi tanlanmada teng, ya’ni
(12.1)
bo’lsa, bunday baho siljimagan baho deb ataladi.
Siljigan baho deb matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga teng bo’lmagan bahoga aytiladi.
Biroq siljimagan baho baholanayotgan parametrga yaxshi yaqinlashishni har doim ham beravermaydi. Haqiqatan, ning mumkin bo’lgan qiymatlari uning o’rta qiymati atrofida ancha tarqoq bo’lishi, ya’ni dispersiya anchagina katta bo’lishi mumkin. Bunday holda bitta tanlanma ma’lumotlari bo’yicha topilgan baho ning o’rta qiymatidan va demak, baholanayotgan parametrning o’zidan ham ancha uzoqlashgan bo’lishi mumkin. Agar dispersiyaning kichik bo’lishi talab etilsa, u holda katta xatoga yo’l qo’yishning imkoniyati yo’q bo’ladi.
Agar statistik baho tanlanmaning berilgan hajmida eng kichik mumkin bo’lgan dispersiyaga ega bo’lsa, u holda bunday baho effektiv baho deb ataladi.
Agar statistik baho baholanayotgan parametrga ehtimollik bo’yicha yaqinlashsa, ya’ni ixtiyoriy uchun
da (12.2)
bo’lsa, u holda bunday baho asosli baho deb ataladi. Masalan, agar siljimagan bahoning dispersiyasi da nolga intilsa, u holda bunday baho asosli baho ham bo’ladi.

Bosh to’plam X miqdoriy belgiga nisbatan o’rganilayotgan bo’lsin.

bosh o’rtacha qiymat deb bosh to’plam belgisi qiymatlarining o’rta arifmetik qiymatiga aytiladi.
Agar hajmli bosh to’plam belgisining barcha , , ... , qiymatlari turlicha bo’lsa, u holda bosh o’rtacha qiymat
(12.3)
ga teng bo’ladi.
Belgining , , ... , qiymatlari mos ravishda , , ... , chastotalarga ega va bunda bo’lgan taqdirda esa bosh o’rtacha qiymat
(12.4)
ga teng bo’ladi.
Agar bosh to’plamning tekshirilayotgan X belgisi tasodifiy miqdor deb qaralsa hamda (12.3) va (12.4) formulalar (6.1) va (6.2) formulalar bilan solishtirilsa, u holda belgining matematik kutilmasi shu belgining bosh o’rtacha qiymatiga teng degan xulosaga kelish mumkin:
. (12.5)
Endi bosh to’plamni X miqdoriy belgiga nisbatan o’rganish uchun hajmli tanlanma olingan bo’lsin.
o’rtacha tanlanma qiymat deb tanlanma to’plam belgisining kuzatilayotgan qiymatlarining o’rta arifmetik qiymatiga aytiladi.
Agar hajmli tanlanma belgisining barcha , , ... , qiymatlari turlicha bo’lsa, u holda o’rtacha tanlanma qiymat
(12.6)
ga teng bo’ladi.
Belgining , , ... , qiymatlari mos ravishda , , ... , chastotalarga ega va bunda bo’lgan taqdirda esa o’rtacha tanlanma qiymat
(12.7)
ga yoki
(12.8)
teng bo’ladi.
O’rtacha tanlanma qiymat bosh o’rtacha qiymatning siljimagan bahosi ekan degan fikrga ishonch hosil qilaylik, ya’ni ning matematik kutilmasi ga teng ekanligini ko’rsatamiz. ni tasodifiy miqdor va , , ... , larni bog’liqmas, bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar sifatida qaraymiz. Bu tasodifiy miqdorlar bir xil taqsimlangan bo’lgani uchun ular bir xil sonli tavsiflarga, xususan, bosh to’plam X belgisining matema–tik kutilmasiga teng bo’lgan bir xil matematik kutilmaga ega.
Shunga asosan, 6.2–xossadan, 6.2–natijadan hamda (12.5) va (12.6) formulalardan foydalanib,
(12.9)
ni olamiz.
9.1–natijadan foydalanib, o’rtacha tanlanma qiymat bosh o’rtacha qiymatning asosli bahosi ham ekanligini osongina ko’rsatish mumkin.

Bosh va tanlanma to’plamlar miqdoriy belgilari qiymatlarining o’zlarining o’rtacha qiymatlari atrofidagi tarqoqligini tavsiflash uchun jamlanma tavsiflar – mos ravishda bosh va tanlanma dispersiyalar hamda o’rtacha kvadratik chetlanishlar ki–ritiladi.

bosh dispersiya deb bosh to’plam belgisi qiymatlarining ularning o’rtacha qiymati dan chetlanishlari kvadratlarining o’rta arifmetik qiymatiga aytiladi.
Agar hajmli bosh to’plam belgisining barcha , , ... , qiymatlari turlicha bo’lsa, u holda bosh dispersiya
(12.10)
ga teng bo’ladi.
Belgining , , ... , qiymatlari mos ravishda , , ... , chastotalarga ega va bunda bo’lgan taqdirda esa bosh dispersiya
(12.11)
ga teng bo’ladi.