Avvalo ko‘paytirish qoidasini quyidagi misol orqali tushintiraylik

3- teorema. ta elementdan tadan takrorli gruppalashlar soni ga teng, ya’ni .

Isboti. to‘plam uchun ta elementdan tadan takrorli gruppalashlar sonini aniqlash zarur. Har bir takrorli gruppalashdagi elementlarni ta qismga shunday bo‘lish mumkinki, har bir - bo‘lakda element qanchadir marta qatnashadi yoki biror marta ham qatnashmaydi. Har bir shunday gruppalashni nol va birlardan iborat kod yordamida quyidagicha shifrlaymiz: har bir element o‘rniga bu element - bo‘lakda necha marta qatnashsa, shuncha birlar yozamiz; turli bo‘lak elementlarini bir-biridan nollar bilan ajratamiz (bu yerda yonma-yon joylashgan nollar hosil bo‘lishi mumkin – bu nollar mos elementlarning gruppalashda qatnashmaganligini anglatadi). Masalan, to‘plam elementlaridan tuzilgan 6ta elementdan 9tadan takrorli gruppalashga shifr, 6ta elementdan 12 tadan takrorli gruppalashga esa shifr, aksincha, shifrga 6ta elementdan 6 tadan takrorli gruppalash mos keladi.

Shunday qilib, ta elementdan tadan har bir takrorli gruppalash uchun qandaydir ta birlar va ( ) ta nollardan iborat ketma-ketlikni va, aksincha, ta birlar va ( ) ta nollardan tashkil topgan har bir ketma-ketlik uchun ta elementdan tadan biror takrorli gruppalashni mos qo‘ygan bo‘lamiz (bir qiymatli moslik o‘rnatildi). Binobarin, ta elementdan tadan takrorli gruppalashlar soni ( ) ta nol va ta birlardan tashkil topgan kortej elementlaridan tuzilgan takrorli o‘rin almashtirishlar soniga, ya’ni ga tengdir. Demak,

.

5-misol. 4 xil qalamdan necha usul bilan 7 qalamdan iborat to‘plam tuzish mumkin?

Yechish. Izlanayotgan son ga yoki ga teng. Jami

to‘p.