Автоматик бошšариш муаммоларининг моќияти

14-МАВЗУ


Кечикишли ва иррационал звеноли системаларнинг турғунлиги.

Автоматик бошқариш системалари кириш катталиги u(t) ва чиқиш катталиги y(t) ларининг ўртасидаги боғлиқ қуйидаги кўринишга эга бўлган звенолардан тизилиши мумкин:

, (13.1)
бу ерда τ – доимий катталик (миқдор) бўлиб, кечикиш вақти дейилади. Бундай звенолар кечикувчи звенолар деб аталади ва улар кириш катталигининг ўзгаришини йўқотишларсиз (бузтлишларсиз), лекин бир қанча τ кечикиш вақти билан амалга оширади.
Кечикувчи звеноларнинг узатиш функцияси
. (13.2)

13.1 – расм.

Соф кечикиш звеноларини кўпинча материллар бир нуқтадан бошқасига тасмали транспортерлар орқали кўчирувчи технологик жараёнларда; магнитли заҳира тизимларида ва бошқа тизимларда учратиш мумкин.

Таркибида ҳеч бўлмаганда битта кечикувчи звено бўлган автоматик бошқарув системалари кечикувчи системалар дейилади. Кечишли системалардаги жараёнлар дифференциал-айирма тенгламалар ёрдамида тавсифланади.
Битта кечикувчи звенодан ташкил топган бир контурли автоматик бошқарув системасининг структуравий схемаси агар кечикувчи звено тўғри занжирда бўлса, 13.1,а – расмдагидек келтирилади, агар кечикувчи звено тескари занжирда бўлса, 13.1,б – расмдагидек келтирилади.
Кечикишли бошқариш системасининг узатиш функцияси қуйидагига тенг:
, (13.3)
бу ерда – кечикиши ҳисобга олинмаган очиқ системанинг ўзида p операторнинг рационал-касрли функциясини номоён этувчи узатиш функцияси.
Агар кечикувчи звено тўғри занжирда бўлса, унда ёпиқ системанинг узатиш функцияси қуйидагича бўлади:
. (13.4)
Агар ушбу кечикувчи звено тескари алоқа занжирида бўлса, унда ёпиқ системанинг узатиш функцияси қуйидагича бўлади:
. (13.5)
(13.4) ва (13.5) лардан кўриниб турибдики, кечикувчи звенонинг уланиш жойига боғлиқ бўлмаган ҳолда кечикишли системанинг характеристик тенгламаси қуйидаги кўринишга эга:
. (13.6)
Бу характеристик тенглама таркибида борлиги учун у полином ҳисобланмайди ва p операторнинг трансцендент функцияси дейилади ҳамда одатдаги алгебраик тенгламалардан фарқ қилган ҳолда чексиз илдизлар тўпламига эга бўлади.
Доимий кечикишли чизиқли система турғун бўлиши учун (13.6) тенгламанинг барча илдизлари чап илдизлар бўлиши зарурий ва етарлидир. (13.6) тенгламанинг илдизларини топиш мушкул, шунинг учун кечикишли системанинг турғунлигини тадқиқ қилишда турғунлик мезонларидан фойдаланилади.
Кечикишли берк системанинг турғунлиги ҳақидаги хулоса кечикишли очиқ система АФХ си ни (-1; j0) нуқтага нисбатан тадқиқ қилинишига асосланиб амалга оширилади. Кечикишли системалар учун Найквист турғунлик мезонининг ифодаланиши рационал-касрли узатиш функциясига эга оддий тизимлар учун ифодаланишига ўхшашдир.
Кечикишли очиқ системанинг частотали узатиш функцияси га (13.3) га алмаштириб ҳосил қилинади:
, (13.8)
бу ерда – кечикиш ҳисобга олинмаган очиқ системанинг АФХ си; – АЧХ; – ФЧХ;
(13.9)
кечикишли очиқ системанинг ФЧХ си.
(13.8) ва (13.9) лардан кўриниб турибдики, кечикувчи звенонинг мавжудлиги очиқ системанинг АФХ си модули A(ω) ни ўзгартирмайди, фақатгини частота пропорционал равишда пропорционал коэффициенти кечикиш вақти τ ҳисобланувчи манфий ωτ фазовий силжиш ҳосил қилади.
Кичикиши бўлмаган очиқ системанинг АФХ си ни билган ҳолда кечикишли берк системанинг АФХ си ни осон қуриш мумкин. Бунинг учун АФХ нинг модуль вектори A(ω) ни соат стрелкаси йўналиши бўйича бурчакка буриш керак. Ω частотани ошиши билан бурчак тез ошиб боради, A(ω) эса одатда камаяди, шунинг учун ҳам кечикишли берк системаларнинг АФХ си координата бошини ўраб олувчи спирал кўринишига эга бўлади (13.2-расм). АФХнинг «ўраб олиш» да фазавий силжишнинг борлиги, умуман айтганда, турғунликни ёмонлаштиради, чунки АФХ киритик нуқта (-1; j0) га яқинлашиб келади. Бироқ, баъзида АФХ нинг мураккаб формасига кечикиш доимийсини киритиш турғунлик шартларини яхшилаши мумкин.

13.2-расм.

13.3-расм.

Кечикиш вақти τ ни кенг чегараларда ўзгартириб, унинг шундай қийматини топиш мумкинки, бунда берк система турғунлик чегарасига тушиб қолади. Бундай ҳолларда характеристика (-1; j0) нуқта орқали ўтади.

Кечикиш вақти τ_кр ва унга мос келувчи частота қиймати ω_кр критик деб аталади.
Агар гадографнинг бирлик радиусли айлана билан бир нечта нуқталарда кесишишга эга бўлса, масалан, ω_1кр, ω_2кр ва ω_3кр (13.3-расм) ларда, унда система бир қанча критик частотавий кечикиш вақтларига эга бўлади:
,
чунки минимал кечикиш вақти . Система да, шунингдек, да турғун бўлади. Система да, шунингдек, ларда нотурғун бўлади.
Системанинг нотурғунлик ва турғунлик участкалари τ нинг узлуксиз ўзгаришида (шунингдек, системанинг бошқа праметрларида ҳам) алмашиш ҳолати доимий кечикишли кўпгина системаларнинг характерли хусусияти ҳисобланади. Одатда тезкорлик ва аниқликни ошириш мақсадида системаларнинг кечикиш вақти τ ни кечиктиришга интилади, шунинг учун ҳам турғунлик мезонлари фақатгина минимал кечикиш вақтлари учун ифодаланади.
Агар кечикиш вақти τ минимал критик кечикиш вақти τ_крmin дан кичик бўлса, автоматик бошқарув системаси турғун бўлади:
.