Қаттик жисмнинг илгариланма ва қЎЗҒалмас уқ атрофидаги айланма ҳлракати

1С!)
i
]
ПО- раем. (10.2)
Olid
А ва В нуқталар ихтиернй нуқталар бўлгани учуй илгариланма харакатдаги жиемнинг қолган барча нуқталарининг тезлнклари хам бир хил бўлади. (10.2) дан вақт бўиича хреила оламнз:

OKI]
(10.3)
(10.3) тенгликдан илгариланма харакатдаги жисм xaiv™a нуқтала-рининг тезланишлари бир хилда бўлишини кўрамиз. Шундай қилиб,
теорема исботланди.
Бу теоремадан, жиемнинг илгариланма ҳаракати унинг бирор нуқтасишшг хрракати билан аникланади, деган хулоейга келамиз. Одатда., бундай нуқта учун жпемиинг оғирлик маркази С нукта оли-надм, Мазкур нуқтанпнг ҳаракат теигламаларипи координата усулида куйидагнча ёзиш мумкин:
(10.4)
Шу еабабли илгариланма ҳаракатдаги жиемнинг кинематикаси нукта кинематикасидан фарқ. қилмайди.
Илгариланма харакатдаги жисм нуқтасининг тезлига ва тез-ланиши жиемнинг барча нукталари учун бир хилда бўлганидан улар-ни мое равищда жиемнинг тезлиги ва тезланяши дейилади. ва векторлар жиемнинг ихтиёрий нуктасига кўйиб тасвирланади.
59-§. Қаттиқ жиемнииг қўзғалмас ўқ атрофидаги айланма ҳаракати тенгламаси
Ҳаракатланувчи каттик жиемнинг ик-кнта пуктаси доимо цузгалмасдан крлса, унинг бундай харакати кўзғалмас ўқ ат­рофидаги айланма ҳаракат дейилади. Шу қўэралмас нуқталардан ўтган тўғри чизик, айланиш ўки дейилади. Жиемнинг айлапиш ўқида жойлашган нукталари дои­мо ҳаракатсиз бўлади.
Қаттиқ жиемнинг айланма ҳаракати-ни текшириш учун айланиш ўқи орқдли иккитв текислик ўтказамиз. Улардзн би- щ. р_асм
ри қўзғалмас текислик, иккинчиси эса жисм билан маҳкам бириктирилган ва у би­лан бирга ҳаракатланадиган П текислик бўлсин (111-расм). Айланиш ўқини жиемнинг /1 ва В нуқталари орқали юкррига йўналтирампз ва уни Аг билан белгилаимиз. Жисм Аг ўқ атрофида ҳаракатланганда П текислик 77₀ текисликка нисбатан <р бурчакка бурилади. Бу бур-чак айланиш бурчаги дейилади (у радианда ўлчанади). Айланиш ўқининг мусбат йўналишидан қараганимизда жисм соат милининг айланишига тескари йуналишда айланса, анланиш бурчаги мусбат, акс ҳолда манфий деб ҳиеобланади. Қўзғалувчан текисликнинг қўз-ғалмас текисликка нисбатан фазодаги ҳрлати исталган t вакт учун Ф бурчак билан аникланади. П текислик жисм билан махкам бирик-тирилганидан жиемнинг ҳолати ҳ^м <р бурчак билан аникланади. Жисм Az ўқ атрофида айланганда мазкур бурчак вактнинг узлук-сиз, бир кийматли функцияси сифатида ўзгаради:
(10.5)
Бу ифода жиемнинг қўвғалмае ўк атрофидаги айланма ҳаракати тенгламаси дейилади. Агар (10.5) тенглик берилган бўлса, жием­нинг П₀ текисликка нисбатан вактнинг ҳар бнр пайтидаги ҳрлати маълум бўлади.
60-§. Айланма ҳаракатнинг бурчак тезлиги. Текис айланма ҳаракат
Айланиш бурчаги <р дан вақт бўйича олинтан биринчи ҳосила Жиемнинг бурчак тезлиги дейилади ва w билан белгнланади:
(10.6)
ёки
по
Бунда ҳосиланкнг ишораси жисмнинг айлаииш иўналишини ифода-лайди. бўлса, шу онда функция усувчан йулади,
яъни ўқнинг мусбат йўналипшдан ғ;араганда, ссат милинннг айлаии-шпга тескари йўналишда айланади; бўлса, игу оида
|руикиия камаювчан бўлади, яъни жисм соат милициях айланнш йўиалишида айланади.
Агар харакат давомидаўзгармаса, жисм текис айланма
урракатда дейилади. Бу хрлда

Бу теигламани интеграллаймиз:

Бунда С₁ интеграллаш доимийси бўлнб, ҳаракатнинг бошланғлч шарт-ларидан аниқланади. Масалан, бошлангич пайгда айланиш
бурчат бўлсип. У хрлда кжрридаги тенгликдарбу-
лади. Шундай килиб, жисмнинг текис айланма фракати тенгла­маси
(10.7)
кўринишда ёзилади.
Агар пайтда бўлса, (10.7) га кўра текис айланма
харакат тенгламаси ф = at кўринишда ёзилади. Бундаи
(10.8)
СИ системасида бурчак тезлиги рад/с (ёки 1/с) да ўлчанади.
Жисм бир марта тўла айланганда бўлади. Жисм бир ми-
нута " марта айланса, текис айланма харакатаинг бурчак тезлиги қуйидагига тенг бўлади:
(10.9)
Бу формулада бир минутдаги айланишлар сони п жисм течие-айланма харакатининг бурчак тезлигини характерлайди.
22-масала. Буг турбинаси дискни ҳаракатга келтириш давридаги айланиш тенгламаси ёзилсин; айланиш бурчаги вақтнинг кубига му-таносиб ва бўлганда бурчак тезлиги айл/мин га
тенг бўлади.
Ечиш. Масала шартига кура, дискнинг ҳаракат қонунини қуйи-даги формула билан ифодалаш мумкин:
рад,
бу ерда - ўзгармас қийматга эга бўлган ва изланаётган номаълум коэффициент.
(10.6) га асосан дискнинг бурчак тезлиги га ни аниклаймиз:
о:
с бўлганда айл/мин бўлиши маълум; (10.9) га асосан
рад/с. (2)
ни топиш учун (1) га с қпйматпи қўйиб, (2) билан солиш-
тпрсак, келиб чнкади.
Шундай килиб, дискнинг ҳаракат ксиуни кўршшшида
ёзилади.
61- §. Айланма харакатнинг бурчак тезланиши. Текис ўзгарувчан айланма ҳаракат
Вакт бирлиги ичида жисмнинг бурчак тезлиги ўзгариши билан характерланадиган катталик жисмнинг бурчак тезланиши дейилади. Жисмнинг айланма харакагдаги бурчак тезланиши бурчак тезлигидан вақт бўйича олинган биринчи тартибли ҳосилага ёки айланиш бурча-гидан вақт бўйича олинган иккинчи тартибли хосилага тенг бўлади. Бурчак тезланиш одатда е билан белгиланади:
(10.10)
Бурчак тезланиш рад/с³ ёки 1/с² билан ўлчанади.
(10.10) да ҳосиланинг ишораси жисм айланма харакати бурчак
тезлигининг орта бориши ёки камайишини ифодалайди. бўл-
са, орта боради ва бундай ҳаракат тезланувчан айланма харакат дейилади; бўлса, га камая боради ва бундай харакат секин-
лануечан айланма харакат дейилади.
Агар харакат давомида буяса, жисмнинг бундай
харакати текис ўзгарувчан айланма харакат дейилади.
Текис ўзгарувчан айланма ҳэракат тенгламасини аниқлзш учун (10.10) тенгликни қуйидаги кўринишда ёзамиз:

Бу тенгликни интеграллаб ни ҳогил қиламиз. Бунда
С₁ интеграллаш доимийси бўлиб, х.аракатнинг бошланғич шартлари-дан тошлади. Масалан, да бўлса, бўлади. У
ҳолда текис ўзгарувчан айланма харакатнинг бурчак тезлиги
(10.11)
формуладан аниқланади.
Текис ўзгарувчан айланма харакат тенгламасини келтириб чика-риш учун (10.6) га кура (10.11) ни қуйидагичз ёззмиз:
Бу тентликни интегралласак,

бўлса, охирги текгликдан бўлишини кў-
рамнз. У ҳолда
(10.12)
Бу тенглама жиемнинг кўзғалмас ўқ атрофидаги текис ўзгарувчан айланма харакати тенгламасини ифодалайди.
Жиемнинг айланма ҳаракати тенгламаси бурчак тезлиги
и ва бурчак тезланнши е қўзғалмас ўқ атрофнда айланаётгаи буту.н жиемнннг харакатини кинематик характерлайди. Аммо жисм ай-рим нуқталарининг хдакатини аниклаш учун бу катталиклар етарли эмас.
62- §. Қўзғалмас ўқ атрофида айланма ҳаракатдаги жисм нуқталарининг тезлиги ва тезлаииши
Қўзғалмас ўқ атрофида айланма харакатдаги жисм нукталари-нинг ҳаракатини характерловчи кинематик элементларни, яъни тра­ектория, тезлик ва тезланишларни аниклаймиз.
Жиемнинг айланиш ўқида иккита қўзғалмас Л ва В нуқталарни оламиз. Жиемнинг айланиш ўқидаи R масофада жойлашган .'И нуқ-тани олиб, уни Л ва В нуқталар билан туташтирамиз (112-расм, а).