Atom tuzilishining modellari. Vodorod atomining bor nazariyasi 1-§. Atom tuzilishining modellari

4.10-§. Elliptik orbitalarni kvantlash

Doiraviy orbitalar yadroning Kulon maydonida harakatlanayot-gan elektron orbitalarining xususiy holi hisoblanadi. Elektronlar harakatining orbitalari umumiy holda elliptik orbitalar deb qaraladi.

100

Ch.Vilson va A.Zommerfeld tomonidan kvantlash qoidasi elliptik orbitalar uchun umumlashtirildi. Erkinlik darajasi j bo‘lgan mexanik tizim umumlashgan koordinata q_i(i=1,2,...,j) va umumlashgan impuls R_i bilan ifodalanadi.

	Pi	Еk	(4.40)
		&
Ek		qi	– umumlashgan
	– tizimning kinetik energiyasi, qi
		&

koordinatalarning vaqt bo‘yicha hosilasi.

Agar tizim j erkinlik darajasiga ega bo‘lsa, uning harakatiga n_i(i =1,2,3,...) kvant sonlari yordamida j kvantlash shartlari qo‘yiladi.Bu kvant shartlar quyidagi ko‘rinishdadir:

òidqi2hni(ni=1,2,3,...,i=1,2,3,…,j),

(4.41)

( 4.41) ifodada umumlashgan koordinatalar q_i sifatida shunday koordinatalar olinadiki, ularda har bir P_i impuls faqat umumlashgan q_ikoordinatalarga tegishli funksiya hisoblanadi. Integral sohasisifatida tegishli o‘zgaruvchining barcha o‘zgarish sohasi olinadi. (4.41) shart tizimning harakatini kvantlashga imkon beradi.

Vodorodsimon atom elliptik orbitalarining kvantlashini quyidagicha qarash mumkin: umumlashgan koordinata sifatida qutb burchagi  va r – elektronning zaryadi Ze bo‘lgan yadro turgan joyga to‘g‘ri keladigan koordinata boshidan elektron o‘zi turgan nuqtasigacha bo‘lgan masofa olinadi. Koordinatalar boshida joylashgan zaryadi Ze bo‘lgan yadro joylashgan deb hisoblanadi. U vaqtda tizimning kinetik energiyasi:

Ek				1		(4.42)
		2m(r	2	2 2	)
				 r 

Umumlashgan impuls esa:

		Ek	2
P			 mr  const ,	(4.43)
		
^Pr		Ek	&	(4.44)
		&	 mr .
		r

P_ning doimiy bo‘lishining sababi ta’sir etuvchi kuchlarmarkaziy kuchlar ekanligidir. Energiyaning saqlanish qonuniga
101
asosan elektronning yadro maydonidagi to‘liq energiyasini quyidagicha yozish mumkin:


E  E_k Ze²/(4₀r)(P_r² P_²/ r) /(2m) Ze²/(4₀r). (4.45)

Tizim tekis harakat qilgani uchun ikkita erkinlik darajasiga ega, u vaqtda kvantlash sharti ham ikkita bo‘ladi:

ò Р d2hn,	(4.46)
ò Pr dr 2hnr.	(4.47)

B unda n_ – azimutal, n_r – radial kvant sonlar deyiladi, P_r – radial impuls, P_ – azimutal impuls.

P=L=const,	(4.48)
bo‘lishi shartidan
P=L=nħ,	(4.49)

ekanligi kelib chiqadi. (4.49) formulada  ning 0 dan 2 gacha o‘zgarishi hisobga olingan. (4.47)dagi radial kvantlashni bajarish uchun umumlashgan impuls P_r ni r funksiyasi sifatida ifodalash kerak:

P (A 2B / r  c / r ^2)^1/ 2.				(4.50)
r
Bunda
A 2mE; B  mZe^2/(4	0	);	C  n^2h^2.	(4.51)
			
Shuning uchun (4.49) formulada keltirilgan radial kvantlash
shartini quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin:
òA 2B / r  c / r^2^1/ 2 dr 2hnr,				(4.52)

( 4.52) formula integrallash chegarasi r ning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlarini o‘z ichiga oladi. r ning minimal va maksimal qiymatlarida integral tagidagi ifoda nolga aylanadi. Buning ma’nosi shundan iboratki, bu nuqtalarda elektronning yadroga maksimal yaqinlashishi va yadrodan maksimal uzoqlashishida elektronning radial tezligi nolga aylanadi. Natijada radial impuls P_r ham nolga

aylanadi, ya’ni P_rmr&0 bo‘ladi.

(4.52) ifodadagi integral odatdagidek hisoblanadi:

_ò( A 2B / rc / r² )^{1/ 2}dr2i( c  B / A); (i  1) . (4.53)Shunday qilib,

102

4.10-rasm

Ze^2			m		 (nnr )h .	(4.54)
40
			2mE

B undan esa n chi elliptik orbitadagi elektronning energiyasi aniqlanadi:

E

n



Z ^2e^4m

1



Z ^2e^4m

.

(4.55)

32^2^20h^2 (n

r

 n )^2

32^2^2h^2n^2



0

(4.55) formula elektron orbitalari elliptik bo‘lganda atom stasionar holatining energiyasini ifodalaydi. Bu formulada n butun musbat son bo‘lib, n=n_ +n_r deb olingan. n bosh kvant son deyiladi. Elliptik orbitalar uchun yozilgan (4.55) ifodani doiraviy orbitalar uchun yozilgan (4.31) ifoda bilan taqqoslashdan ko‘rinadiki, elliptik orbitalar uchun ham energiya qiymati doiraviy orbitalar uchun bo‘lgan energiya qiymatidek bo‘ladi. Farqi faqat shundaki, doiraviy orbitalar holidagi kvant soni (n), elliptik orbitalarda azimutal (n_) va radial (n_r) kvant sonlari yig‘indisiga teng bo‘ladi. Mumkin bo‘lgan ko‘p sondagi ellipslardan (4.46) va (4.47) kvantlash shartlari orqali o‘lchami va shakli n_ hamda n_r kvant sonlari bilan topiladigan aniq ellipslar ajratiladi.

n nr const

(4.56)

bo‘lgan barcha ellipslar aniq doiraviy orbitalarga energiya jihatidan ekvivalent bo‘ladi.
Shunday qilib, kvantlash qoidasi yordamida elliptik orbitalarda harakatlanayotgan elektron energiyasi (4.55) formula orqali aniqlanar ekan. (4.46) va (4.47) formulalar elliptik orbitalarni kvantlash qoidalarini ifodalaydi.


4.11-§. Frank va Gers tajribalari

Frank va Gers tomonidan 1913-yilda o‘tkazilgan tajribalar atom holatlarining diskret ekanligini tasdiqladi.

Elektron bilan atom orasidagi noelastik to‘qnashuvlarda elektron o‘z energiyasini atomga beradi. Elektron istalgan qiymatdagi kinetik energiyaga ega bo‘lishi mumkin. Agar atomning ichki energiyasi ham uzluksiz o‘zgarsa edi, atom elektron bilan noelastik to‘qnashganda atom elektrondan istalgan qiymatdagi energiyani

103
qabul qilar edi. Lekin tajribada bunday hol kuzatilmadi. Tajribalar atom elektron bilan noelastik to‘qnashganda, atom elektrondan faqat aniq bir qiymatdagi energiyanigina qabul qila olishini ko‘rsatdi. Atom qabul qilgan bu energiya qiymati atomning ikki stasionar holatlari energiyalari farqiga teng bo‘ladi. Demak, elektron bilan atom orasidagi noelastik to‘qnashuvlarda elektron atomga energiyaning faqat aniq bir qiymatdagi energiyanigina bera oladi. Elektronning atomga bergan energiyasi miqdorini o‘lchab, bu energiya ikki stasionar holatlar energiyalari farqiga teng ekanligini aniqlash mumkin. Frank va Gers tajribasining g‘oyasi ham shundan iborat edi.

Tajriba sxemasi. Tajriba qurilmalarining sxemasi 4.10-rasmda

keltirilgan.

Bosimi 1 mm simob ustuniga (130 Pa) teng bo‘lgan simob bug‘i bilan to‘ldirilgan trubka ichiga katod (K), to‘r (A) va anod vazifasini bajaradigan (B) plastinka joylashtirilgan. Qizdirilgan katod (K ) va to‘r (A) orasiga katoddan chiqqan elektronlarni tezlatuvchi

potensiallar farqi (U) ko‘yilgan. Elektronlar o‘z harakatlari davomida simob atomlari bilan to‘qnashadilar. B plastinka A to‘rdan keyin joylashtirilgan, ular orasiga kuchsiz (0,5 V) tormozlovchi potensial U₃qo‘yiladi. Elektronlar A to‘r bilan B plastinka orasidatormozlanadi. Agar energiyasi 0,5 eV dan kichik bo‘lgan elektron A to‘rdan o‘tsa, u V plastinkagacha yetib kela olmaydi. Energiyasi 0,5 eV dan katta bo‘lgan elektronlargina A to‘rdan o‘tib B plastinkagayetib kela oladilar. Ularning soni galvanometr (G) ko‘rsatayotgan tok kuchi kattaligi orqali aniqlanishi mumkin.

Tajribalarda B plastinkaga tushgan elektronlar hosil qilgan tok kuchi bilan elektronlarni tezlatuvchi potensiallar farqi U orasidagi bog‘lanishning (volt-amper xarakteristikasi) grafigi chizilgan (4.11-rasm). Volt-amper xarakteristikada tok kuchining maksimumlari bir-

biridan bir xil oraliqda joylashgan. Ketma-ket joylashgan

maksimumlar orasidagi har bir oraliq 4,9 V ga teng. Birinchi

104

4.11-rasm

maksimum 4,9 V potensiallar farqiga, ikkinchi maksimum 9,8 V, uchinchi maksimum 14,7 V potensiallar farqiga to‘g‘ri keladi.