Asosiy tushunchalar. Laplas tenglamasining fundamental yechimi

Isbot. Faraz qilaylik, biror nuqtada u(x) funksiya maksimumga erishsin, ya’ni . D soxada yotuvchi sharni olamiz. Bu sharning xar bir nuqtasi u(x)=M bo’ladi. Xaqiqatdan xam, agar y, , nuqtada u(y) (u(y)>M tengsizlik bo’lishi mumkin emas) tengsizlik o’rinli bo’lsa u(x), funksiya uzluksiz bo’lgani uchun bu tengsizlik u nuqtaning biror atrofida xam o’rinli bo’ladi. U xolda (1.17) formulani shartga nisbatan qo’llash natijasida M bo’lgan manosiz tengsizlikka ega bo’lamiz.
Demak, barcha sharda u(x)=M. Endi x-D soxaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lib, l esa ni bilan tutashtiruvchi va D da yotadigan uzluksiz egri chiziq bo’lsin. D soxaning chegarasi S bilan l egri chiziq orasidagi masofadan kichik bo’lgan sonni olamiz. sharning y markazini nuqtadan x nuqtaga qarab l chiziq bo’yicha siljitib boramiz. Yuqorida isbotlangan asosan y ixtiyoriy xolatda bo’lganda xam bu sharning ichida u=M va u(x)=M bo’ladi. Demak barcha Dda u(x)=M. Xosil bo’lgan qarama-qarshilik teoremaning birinchi qismi to’g’ri ekanligini ko’rsatadi. Xuddi shunga o’xshash ikkinchi qismi, ya’ni minimum xol isbotlanadi.
1-natija. Agar u(x) funksiya D soxada garmonik bo’lib, da uzluksiz bo’lsa, u xolda u(x) funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatlarni soxani chegarasida qabul qiladi, ya’ni , bu yerda m va M lar u(x) funksiyaning D chegarasidagi eng kichik va eng kata qiymatlari.
Bu natijaning to’g’riligi yuqorida isbotlangan ekstremum prinspi va matematik analizdan ma’lum bo’lgan. Veyershtras teoremasidan kelib chiqadi.