Asosiy qism Sоnlаr kеtmа-kеtligi hаqidа tushunchа

3-Misоl: Ushbu x_n=(-1)ⁿ : -1, 1 - 1, 1, ...,(-1)ⁿ,... kеtmа-kеtlikni qаrаylik. Hаr qаndаy а ning iхtiyoriy аtrоfi, jumlаdаn ( ) аtrоfi оlinsа, kеtmа-kеtlikning birоr hаdidаn bоshlаb kеyingi bаrchа hаdlаri shu аtrоfgа tеgishli bo’lmаydi. Binоbаrin, а bеrilgаn kеtmа-kеtlikning limiti emаs. Bеrilgаn kеtmа-kеtlik limitgа egа emаs.
4-Misоl: =1 ekаnligini isbоt qiling vа N() ni аniqlаng.
Yechish: >0 uchun N() sоni mаvjud bo’lishi kеrаkki, bаrchа nN() lаr uchun |x_n-a|=| - 1|< tеngsizligi bаjаrilsа, limit tа’rifigа ko’rа qo’yilgаn mаsаlа hаl bo’lаdi. Yuqоridаgi tеngsizlikni еchsаk, < bundаn 2n+1> yoki n> bo’lаdi, dеmаk N=N()= . Shuning uchun =1 bo’lаdi.

Cheksiz kichik ketma-ketliklar va ularning xossalari.

Ta’rif. Agar _n=0 bo’lsa, u holda ( _n ) ketma-ketlik cheksiz kichik miqdor yoki cheksiz kichik ketma-ketlik deyiladi.
Agar x_n =a bo’lsa, u holda _n=x_n-a cheksiz kichik miqdor bo’ladi. Haqiqatan, ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan har bir >0 uchun n₀ natural son topilib, n>n₀ lar uchun | _n|=|x_n-a|< tengsizlik o’rinli.
Aksincha, agar _n=x_n-a cheksiz kichik miqdor bo’lsa, u holda x_n=a bo’ladi.
Demak, a son (x_n) ketma-ketlikning limiti bo’lishi uchun uni x=a+ _n ko’rinishda ifodalanishi zarur va yetarlidir, bu yerda _n cheksiz kichik miqdor.
1-lemma. Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlarning yig’indisi (ko’paytmasi) cheksiz kichik miqdor bo’ladi.
Isbot. _n va _n lar cheksiz kichik bo’lsa, u holda _n= _n + _n ni cheksiz kichik bo’lishini ko’rsatamiz. _n =0 dan har bir >0 uchun n₁ nomer topilib, n>n₁ lar uchun | _n|< tengsizlik o’rinli bo’ladi. Xuddi shu kabi n₂ nomer topilib, n>n₂ lar uchun | _n |< tengsizlik o’rinli bo’ladi. n₀=max(n₁,n₂) deb olsak, n>n₀ lar uchun | _n|< va | _n |< tengsizliklarning har biri o’rinli bo’ladi. Bundan | _n |<| _n+ _n | | _n |+| _n | < = tengsizlik kelib chiqadi. Demak, _n -cheksiz kichik miqdor.
_n va _n lar ko’paytmasi cheksiz kichik miqdor bo’lishi huddi shunday isbotlanadi.
2-lemma. Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik miqdorning ko’paytmasi cheksiz kichik miqdor bo’ladi.(isbotlang)
Misol. x_n = sin n² chegaralangan miqdor, _n = cheksiz kichik miqdor, lemmaga asosan cheksiz kichik miqdor bo’ladi, ya’ni =0.
Cheksiz katta miqdorlar.
Ta’rif. Har bir M son uchun shunday n nomer mavjud bo’lib, barcha n>n₀ lar uchun |x_n|>M tengsizlik o’rinli bo’lsa, (x_n) ketma-ketlik cheksiz katta miqdor yoki ketma-ketlik deyiladi.
Bu holda x_n= belgilash ishlatiladi.
Demak, x_n=
Biror nomerdan boshlab x_n>0 (x_n<0) bo’lsa, x_n= tenglik x_n=+ ( x_n=- ) ko’rinishda yoziladi.
Misol. 1. x_n=n², n²=+ ; 2. z_n=-2n, (-2n)=- .