Arifmetik vektorlar va ular ustida amallar n o`lchovli haqiqiy arifmetik fazo. Arifmetik vektor haqida tushuncha

Mavzu: Vektorlar va ular ustida amallar
Reja:
1.Arifmetik vektor haqida tushuncha
2.Arifmetik vector usitda amallar va xosassi

Arifmetik vektorlar va ular ustida amallar
1. n  o`lchovli haqiqiy arifmetik fazo. Arifmetik vektor haqida tushuncha

O`rta maktab matematika kursida real fazo vektorlari – yo`nalishli kesma shaklida tasvirlanishi mumkin bo`lgan geometrik vektorlar va ular ustida amallar o`rganilgan edi. Maktab kursida real (bir, ikki va uch o`lchovli) fazo vektorlari va nuqtalari orasida o`zaro birga-bir moslik borligini uqish muhimdir. Real R₃ fazo tushuncha va elementlarini ixtiyoriy n (n ≥ 4, n  N) o`lchovli fazo uchun yoyish yoki umumlashtirish mumkin. n o`lchovli haqiqiy fazo abstrakt - to`qima tushuncha bo`lib, uning vektorlarini yo`nalishli kesma – geometrik vektor shaklida emas, balki arifmetik ifodalash mumkin.

n o`lchovli haqiqiy arifmetik fazo tushuncha va elementlari murakkab, xususan iqtisodiy jarayonlarni matematik tekshirish imkonini be-radi.

n o`lchovli haqiqiy arifmetik fazo deb, mumkin bo`lgan barcha n ta haqiqiy sonlarning tartiblangan tizimlari to`plamiga aytiladi va R_n yozuv bilan belgilanadi.

Har bir alohida olingan x = (x₁, x₂, …, x_n) tizim R_n fazo arifmetik vektori yoki nuqtasi deyiladi. x₁, x₂, …, x_n haqiqiy sonlarga x vektor yoki nuqtaning mos koordinatalari yoki komponentlari deyiladi. Tizim koordinatalari soni n esa x arifmetik vektor yoki nuqta o`lchovi deyiladi.

x = (x₁, x₂, …, x_n) vektorning qarama-qarshi vektori deb -x = (-x₁, - - x₂, …, -x_n) vektorga aytiladi. n ta nollardan iborat (0, 0, …, 0) tizimga n o`lchovli nol vektor deyiladi va θ harfi bilan belgilanadi.

Ikki n o`lchovli x = (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …, x<sub>n</sub>) va y = (y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, …, y<sub>n</sub>) arifmetik vektorlar berilgan bo`lsin.

x_i = y_i (i = {1,2, … , n}) munosabatlar o`rinli, ya`ni vektorlarning har bir mos koordinatalari o`zaro teng bo`lsa, x va y vektorlarga o`zaro teng vektorlar deyiladi. x va y vektorlarning tengligi x = y ko`rinishda yoziladi.
2. Arifmetik vektorlar ustida chiziqli amallar va ularning xossalari
n o`lchovli arifmetik vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagicha bajariladi:

1. 
   Berilgan x va y vektorlarni qo`shganda ularning mos koordinatalari qo`shiladi: x + y = (x₁ + y₁; x₂ + y₂; …; x_n + y_n).
   
2. 
   Berilgan x vektorni k haqiqiy songa ko`paytirganda uning har bir koordinatasi k marta ortadi: kx = (kx₁; kx₂; …; kx_n).
   

Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga bo`ysinadi:
1) x + y = y + x; 5) (α + β) x = α x + β x;

2) x + (y + z) = (x + y) + z; 6) α (β x) = (α β) x;

3) x + (- y) = x – y ; 7) x + θ = x;

4) α (x + y) = α x + α y; 8) x 1 = x ,

bu yerda, x, y va z – arifmetik vektorlar, α va β esa haqiqiy sonlar.

3. 
   Arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi. Vektor uzunligi
   

Skalyar ko`paytma xossalari
Berilgan x = (x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; …; x<sub>n</sub>) va y = (y<sub>1</sub>; y<sub>2</sub>; …; y<sub>n</sub>) arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb, vektorlar mos koordinatalari ko`paytmalarining yig`indisiga teng songa aytiladi va (x, y) shaklda yoziladi. Ta`rifga binoan,

(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + …+ x_ny_n yoki

Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) vektorning moduli yoki uzunligi (normasi) deb, quyidagi formula bo`yicha aniqlanadigan nomanfiy |x| songa aytiladi:

yoki .

Vektorlarning skalyar ko`paytmasi quyidagi xossalarga bo`ysinadi:

1) (x, x) ≥ 0 , 3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z),

2) (αx, y) = α(x, y), 4) (x, y) = (y, x).

4. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Vektorlar orasidagi burchak. Uchburchak tengsizligi

Skalyar ko`paytma xossalaridan foydalanib, quyidagi Koshi–Bu-nyakovskiy tengsizligini isbotlash mumkin:

|(x, y)| ≤ |x| |y|.
Tengsizlik bo`yicha x va y vektorlar skalyar ko`paytmasi absolut qiymati vektorlar modullari ko`paytmasidan katta emas.

Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi koordinatalarda

ko`rinishda yoziladi. Shunday bir yagona λ = cos φ  [-1; 1] (φ[0;π]) son tanlash mumkinki, bunda
(x, y) = |x| |y| cosφ (φ  [0; π]).
tenglik o`rinli bo`ladi. Oxirgi tenglikdan real fazoda bo`lgani kabi, abstrakt R_n fazoda ham uning x va y arifmetik vektorlari orasidagi burchak haqida gapirish mumkin va uning kattaligi kosinusini aniqlash mumkin:


R_n fazoda ham uchburchak yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi
|x + y| ≤ |x| + |y|
tengsizlik o`rinli.