Arifmetik funksiyalar tushunchasi butun koordinatali nuqtalari xaqida

3-Natija.Agar а soni m moduli bo’yicha ko‘rsatkichga tegishli bo’lsa, a^k soni ko‘rsatkichga tegishli bo’ladi.
Isboti. Faraz etaylik soni ko‘rsatkichga tegishli bo‘lsin. U holda va 1 – Natijaga ko’ra ga bo’lsak
Bu taqqoslamani qanoatlantiruvchi eng kichik musbat son Xususiy holda, agar (к,) = bo’lsa, =, ya’ni soni ham  ko‘rsatkichga tegishli bo’ladi.
Misol. 1) Biz yuqorida 2 soni 7 moduli bo’yicha 3 ko‘rsatkichiga tegishli ekanligini ko‘rgan edik. 2²=4 soni ham (2, 3)=1 bo‘lgani uchun 3 ko‘rsatkichiga tegishli bo‘lishi kerak. .
Bundan ko‘rinadiki 4 soni ham 7 moduli bo’yicha 3 ko‘rsatkichiga tegishli.
2) 3 soni 7 moduli bo’yicha 6 ko‘rsatkichiga tegishli edi. 3⁴ soni 7 moduli bo’yicha qaysi ko‘rsatkichga tegishli ekanligini aniqlaylik. . Demak, 81=3⁴ soni 7 moduli bo’yicha 3 ko‘rsatkichga tegishli bo‘lishi kerak. Haqiqatan ham .
3. Ko‘rsatkichga qarashli sinflarning mavjudligi va ularning soni. Biz Bundan ilgari har bir (a,m)= shartni qanoatlantiruvchi а soniningm moduli bo’yicha biror ko‘rsatkichga tegishli ekanligini ko‘rdik. Buning teskarisi, ya’ni ning har bir bo‘luvchisi m moduli bo’yicha biror sinfning ko‘rsatkichi bo’ladimi? Xususan soni hamма biror sinfning m moduli bo’yicha ko‘rsatkichi bo’ladimi? YA’ni ixtiyoriy m moduli bo’yicha boshlang‘ich ildiz mavjudmi? Bu savolga faqat m=p – tub son hamda m maxsus (ba’zi bir ko‘rinishdagi butun sonlar uchun mavjud) bo‘lishi mumkin.
Lemma.р-1 sonining bo‘luvchisi moduli bo’yicha yoki birorta ham sinfning ko‘rsatkichi bo‘lmaydi yoki ta sinfning ko‘rsatkichi bo’ladi.
(Bu lemmani boshqacha qilib quyidagicha aytish mumkin. Agar р moduli bo’yicha ko‘rsatkichga tegishli biror sinf mavjud bo’lsa (Bu yerda | р-1) , U holda shunday sinflar soni bo’ladi).
Isboti:рmoduli bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasidagi ko‘rsatkichga qarashli chegirmalar sonini () bilan belgilaymiz.
U holda hozircha deya olamiz. Agar bo’lsa, lemma isbotlangan bo’ladi.
Faraz etaylik faqat birta а soni р moduli  ko‘rsatkichga tegishli bo‘lsin.U holda . Endi  ko‘rsatkichga tegishli barcha sonlarni topishga harakat qilamiz. Bu sonlar

taqqoslamani qanoatlantirishi kerak. (4) ni esa

dagi barcha chegirmalar qanoatlantiradi, chunki

Bizga ma’lumki (5) dagi sonlar р mouli bo’yicha turli sinflarga tegishli. Endi (5) dagi sonlar orasidan  ko‘rsatkichga tegishlilarini ajratib olamiz. Ilgarigi temadagi 3- Natijaga ko’ra, agar (,)= bo’lsa, soni ko‘rsatkichga tegishli bo‘lar edi. sonlari  moduli bo’yicha chegirmalarning to‘la sistemsini tashkil qilgani uchun bular orasida (,)= shartni qanoatlantiruvchilari soni ta. Demak, .
.