|
1-Natija. Agar haqiqiy son bo‘lib
bo’lsa, U holda
bo’ladi.
2-Natija. Agar bo’lsa, U holda
bo’ladi.
Endi biz ning funksional tenglamasini isbotlashimiz mumkin.
1-Teorema. (Dzeta funksiyaning funksional tenglamasi). Quyidagi tenglik o‘rinli
Isboti. ning integral ko‘rinishidagi ifodasiga ko’ra, , bo‘lganda
bo’ladi. Bundan ixtiyoriy natural soni uchun
ya’ni
Demak,
(8)
Bu yerda yig‘ish va integrallash tartibini o‘zgartirish mumkin, chunki da
.
va bo’lsa, U holda
Endi agar
deb belgilab olsak, 3-lemmaning 2-natijasiga ko’ra
bo’ladi. Shuning uchun ham (8) o‘ng tomonidagi integralni quyidagicha yozish mumkin:
(9)
da bo‘lgani uchun (9) dan (8) uning o‘ng tomonining bo‘lganda analitik funksiyani ifodalashi kelib chiqadi. Shuningdek у ni bilan almashtirsak o‘zgarmaydi, ya’ni
Natija. Ushbu
funksiya butun funksiya bo‘lib
tenglamani qanoatlantiradi.
14.Ko’rsatkichga qarashli sonlar xaqida.
ni qanoatlantiruvchi eng kichik butun son bo’lsa, U holda а soni m moduli bo’yicha ko‘rsatikichga tegishli deyiladi.
Shuni ham ta’kidlash kerakki, agar (a, m)=d > 1 bo’lsa, (1) taqqoslamani o‘rinli bo‘lmaydi, chunki uning o‘ng tomoni d ga bo’linmaydi.
Ma’lumki,a,m)=1 bo’lsa, Eyler teoremasiga ko‘ra
Demak, 0 < (m).
Agar =(m) bo’lsa, ya’ni а soni m moduli bo’yicha (m) ko‘rsatkichga tegishli bo’lsa, а va m moduli bo’yicha boshlang‘ich ildiz deyiladi.
Agar m=р tub son bo’lsa, а soni р modul bo’yicha boshlang‘ich ildiz bo‘lishi uchun у р-1 ko‘rsatkichiga tegishli bo‘lishi kerak.
а sonining m moduli bo’yicha tegishli bo‘lgan ko‘rsatkichini topish uchun kuyidagicha yo‘l tutish mumkin: larni hisoblaymiz, toki birinchi shartni qanoatlantiruvchi ni hosil qilguncha qadar.
Misollar. 1) 2 sonining 7 moduli bo’yicha tegishli bo‘lgan daraja ko‘rsatkichini toping.
Demak 2 soni m=7 moduli bo’yicha 3 ko‘rsatkichiga teng.
(7)=6 bo‘lgani uchun 2 soni 7 moduli bo’yicha boshlang‘ich ildiz emas.
2) 3 soni m=7 moduli bo’yicha qanday ko‘rsatkichga tegishli ekanligini aniqlaylik.
Demak, 3 soni m=7 moduli bo’yicha tegishli bo‘lgan daraja ko‘rsatkichi 6 ga teng va (7)=6 bo‘lgani uchun 3 m=7 moduli bo’yicha boshlang‘ich ildiz bo’ladi.
3) 5 ning m=7 moduli bo’yicha qanday ko‘rsatkichga tegishli ekanligini aniqlaylik.
Demak, 5 ham m=7 moduli bo’yicha boshlang‘ich ildiz ekan. Shunday qilib birta m moduli bo’yicha bir nechta boshlang‘ich ildizlar bo‘lishi mumkin ekan.
2. Endi ko‘rsatkichga qarashli sonlarning ba’zi xossalarini qaraymiz.
bo’lsa, U holda lar m moduli bo’yicha bir hil ko‘rsatkichga tegishli bo’ladi.
Isboti. Teskarisini Faraz etaylik а soni m moduli bo’yicha ko‘rsatkichga ko‘rsatkichga tegishli bo’lib bo‘lsin. U holda agar bo’lsa, dan бўлgani uchun ga ega bo’lamiz. Buning bajarilishi mumkin emas, Demak bo‘lishi mumkin emas. Agarda bo’lsa, ni marta o‘z-o‘ziga hadlab ko‘paytirib va dan foydalansak ga ega bo’lamiz. Bunday bo‘lishi mumkin emas va Demak bo‘la olmaydi. Shunday qilib .
Demak, agar а soni m moduli bo’yicha ko‘rsatkichga tegishli bo’lsa а bilan taqqoslanuvchi sonlar ning barchasi shu ko‘rsatkichga tegishli bo‘lar ekan.
20. Agar а soni m moduli bo’yicha ko‘rsatkichga tegishli bo’lsa, U holda
sonlari m moduli bo’yicha o‘zaro taqqoslanmaydi.
Haqiqatan ham agar bo’lsa, U holda bo’ladi. Bu yerda 0<k-l< ,bo‘lgani uchun bu oxirgi taqqoslamaning bajarilishi mumkin emas.
Bu xossadan kelib chiqadiki, agar bo’lsa, (3) sistema m moduli bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil qiladi.
Misol. Biz yuqorida 3 sonining 7 moduli bo’yicha boshlang‘ich ildiz ekanligini ko‘rdik. Endi 3 soni (3) sistemani tuzsak u 7 moduli bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini hosil qilishi kerak. Shuni tekshiramiz.
1,3,2,6,4,5 sonlar 7 moduli bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil etadi.
30. Agar а soni m moduli bo’yicha ko‘rsatkichga tegishli bo’lsa, U holda
bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isboti. bo‘lsin. U holda . Bundan foydalanib () ni quyidagicha yoza olamiz:
Bu yerda bo‘lgani uchun Bundan
.
2) . Aksincha, bo‘lib, bo‘lib. U holda
Natija.1). Agar а soni m moduli bo’yicha ko‘rsatkichga tegishli bo‘lib, bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isboti teoremada debolish kifoya.
2). Agarа soni m moduli bo’yicha ko‘rsatkichga tegishli bo’lsa, .
2-Natijadan foydalanib ni topish jarayonini biroz soddalashtirish mumkin, ya’ni bu (m) ning bo‘luvchilari orasida bo’ladi.
Misol. 17 moduli bo’yicha 5 soni teishli bo‘lgan daraja ko‘rsatkichini aniqlaylik. 16 ning bo‘luvchilari 1, 2, 4, 8,16. .
Demak, 5 soni 17 moduli bo’yicha boshlang‘ich ildiz bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
