Arifmetik funksiyalar tushunchasi butun koordinatali nuqtalari xaqida

3. Chebishev teoremasi. Endi yuqorida isbotlangan 2-Teoremadan foydalanib ushbu Teoremani isbotlaymiz.
3-Teorema (Chebishev) Agar x yetarlicha katta son bo’lsa, Shunday bir a va А, doimiy sonlari mavjudki,

munosabat o‘rinli bo’ladi.
Isbot. Faraz etaylik bo’lsin.
Agar biz ekanligini ko‘rsatsak Teorema isbot bo‘ldi. 2-Teoremaga ko’ra bu tengsizliklar quyidagilarga Ekvivalentdir:

Avvalo (7) ni isbotlaymiz. Ushbu binomial koeffitsenti

quyidagi xossalarga ega:
1) N butun va (1+1)^2п ning yoyilmasidagi eng katta had. Bu yoyilmada (2п+1) ta had bo‘lgani uchun

shartni qanoatlantiruvchi barcha tub p sonlariga bo‘linadi, chunki bu sonlar N ning suratiga kiradi, lekin maxrajiga kirmaydi.
2) – хоссаdan
va Demak
(9) dan Buni e’tiborga olsak,

Agar biz (10) da debolib hosil bo‘lgan tengsizliklarni hadlab qo‘shsak

Bu yerdaн bo‘lgani uchun

ga ega bo’lamiz.
Faraz etaylik x>1 ushbu shartni qanoatlantirsin. U holda o‘suvchi (kamaymaydigan ) bo‘lgani uchun

Bundan

(7) isbot bo‘ldi.
Endi (8) tengsizlikni isbotlaymiz. Buning uchun bizga ma’lum bo‘lgan Ushbu Lemmadan foydalanamiz.
Lemma.р-tub soni m! ga

daraja bilan kiradi.
Endi ushbu N soni

ni qaraymiz. tub soni N ning suratiga

daraja bilan, maxrajiga esa

daражa bilan kiradi. Shuning uchun ham N ga

daraja bilan kiradi va Demak,

debyoza olamiz. Agarda bo’lsa,

bo‘lgani uchun debbelgilab olsak

Ma’lumki, agar uhaqiqiy son bo’lsa, bo’ladi. Bu yerdan
_.Bundan esa

_. Ikkinchidan .
Bundan (12)da foydalansak ga ega bo’lamiz.
Shunday qilib

Ikkinchi tomondan esa

yoki

(13) va (14) dan

(9) dan
(15) va (16) dan
Endi Faraz etaylik x>2 haqiqiy son bo’lib
bo’lsin. U holda bo’lib(17) dan

yoki х ga bo’lsaк

ga ega bo’lamiz. Demak

Teorema isbot bo‘ldi.
3-Teoremadan tub sonlar sonining cheksizligi va qatorning uzoqlashuvchi ekanligi to‘g‘ridan to‘g‘ri kelib chiqadi.
Haqiqatan ham, р_п-п-чи tub son bo’lsin.
U holda ga ko’ra yetarlicha katta
bo‘lganidan
(n-yetarlicha katta) ().
Bundan
U holda () da

munosabat bajarildan. Bu yerdan

O‘ng tomondagi qator uzoqlashuvchi bo‘lgani uchun chap tomondagi qator ham uzoqlashuvchidir.