«Anıq integraldıń mexanika hám fizikaǵa qollanılıwı»

2.2. Ózgeriwsheń kúshtiń atqarǵan jumısı
M materiallıq noqat F kúsh tásiri astında Ox tuwrı sızıq boylap háreketlenip atırǵan bolsın hám bunda kúshtiń jónelisi menen birdey bolsın (F kúsh Ox kósherge parallel hám olar birdey jónelgen).
Sol F kúshtiń M materiallıq noqattı x=a jaǵdaydan x=b jaǵdayǵa kóshiriwde atqarǵan jumısı A nı tabıw talap etilsin.
Bunda eki jaǵdaydı baqlaw múmkin:

1. 
   F kúsh ózgermes bolsın. onda noqattı x=a jaǵdaydan x=b jaǵdayǵa kóshiriwde F kúshtiń atarǵan jumısı
   

A=F(b-a) (2)
formula járdeminde anıqlanadı.

2. 
   F kúsh M noqattıń jaǵdayına baylanıslı ráwishte ózgersin, yaǵnıy [a,b] kesindide F(x) úzliksiz funkciya bolsın. onda F kúsh atqarǵan A jumıs tómendegishe tabıladı.
   

[a,b] kesindini a=x₀< x₁< x₂<… x_i-1< x_i<…< x_n=b noqatlar járdeminde n dana qaálegen [x_i-1, x_i] mayda bóleklerge ajıratıp, hár bir [x_i-1, x_i] bólekke birewden qálegen z_i noqat alamız. Uzınlıǵı Δ x_i= x_i- x_i-1 bolǵan [x_i-1, x_i] mayda bólekte F kúsh ózgermes hám ol F(z_i) ǵa teń dep oylaymız. Onda (2) formulaǵa kóre F kúshtiń [x_i-1, x_i] aralıqta atqarǵan jumısı
А≈F(z_i) Δ x_i
boladı. Soǵan uqsas pikirlewlerdi hár bir kesindi ushın ótkerip F kúshtiń [a,b] kesindi de atqarǵan jumısı A nıń shamalıq mánisi

di payda etemiz. Bul teńliktiń oń tárepindegi qosındı [a,b] kesindi de úzliksiz F(x) funkciya ushın integral qosındı boladı. Sonıń ushın ol de anıq limitke iye hám F(x) funkciyadan [a,b] aralıq boyınsha alınǵan anıq integralǵa teń, yaǵnıy
(3)
8-mısal: Jer betinen vertikal jóneliste m massalı deneni h biyiklikke shıǵarıw ushın zárúr bolǵan kúshtiń atqarǵan A jumısı tabılsın.

Sheshiw: Jerdiń tartısıw kúshin F_i massasın m_y, deneden jerdiń orayına shekemgi aralıqtı x desek Nyuton niamina muwapıq

boladı. Eger Gm·m_y=K belgilewdi kiritsek qa teń bolamız, bunda R≤x≤h+R, R- jerdiń radiusı. x=R da F(R) kúsh deneniń awırlıq kúshi P=m·g ǵa teń hám , , .
Bunı (3) formulaǵa qoyıp tómendegini tabamız:
.
9-mısal: Ekinshi kosmoslıq tezlik tabılsın.

Sheshiw: Deneniń ekinshi kosmoslıq tezligin yaǵnıy (joqarıdaǵı sızılma) dene jerdiń tartısıw maydanınan planetalararalıq kosmosqa shıǵıwı ushın ol qanday baslanǵısh tezlikke iye bolıwı kerek degen sorawǵa juwap izleymiz. 8-mısaldıń nátiyjesinen háme ondaǵı belgilewlerden paydalanamız.
Deneniń planetalararalıq kosmosqa shıǵıwı ushın onı sheksiz biyiklikke (h= ) shıǵıwın ańlatadı. Sonıń ushın

teńlikte da limitke ótip tómendegini payda etemiz.

bunda, g-deneniń jer betine erkin túsiw tezleniwi. Bul jumıs deneniń kinetikalıq energiyasınıń ózgeriw wi esabınan ámelge asırıladı. Sonıń ushın baslanǵısh waqıtta deneniń kinetikalıq energiyası usı jumıstan kishi bolmawı, yaǵnıy deneniń baslanǵısh tezligi v sonday bolıw kerek bolsın.
Bunnan , .
Eger deneniń baslanǵısh tezligi 11,2 km/s qa teń bolsa dene parabola boylap háreketlenedi. Deneniń baslanǵısh tezligi 11,2 km/s tan úlken bolǵanda dene giperbola boylap háreket etedi. Deneniń baslanǵısh tezligi 11,2 km/s tan kishi bolǵanda ellips boylap háreket etedi. Sonıń ushın bul jaǵdayda dene ya jerge qulap túsedi yamasa jerdiń jasalma joldasına aylanadı.
10-mısal: Eger rujinanı 1 sm qısıw ushın 10 N kúsh kerek bolsa, onı 4 sm qısıw ushın jumsalatuǵın F kúsh atqaratuǵın jumıstı tabıń.
Sheshiw: Guk nızamına muwapıq F kúsh hám x qısılıw ózara F=kx múnásebet penen baylanısqan (k-proporcionallıq koefficienti). k nı másele shártinen tabamız: x=1 sm=0,01 m da kúsh F=10 N, yaǵnıy 10=k·0,01 bunnan k=1000n/m. Demek (3) formulaǵa kóre
.
11-mısal: Uzınlıǵı 1 m, kesiminiń radiusı 2 mm bolǵan mıs sımdı 1 mm ǵa sozıwda atqarılǵan jumıstı tabıń.
Sheshiw: Uzınlıǵı l m hám kesiminiń maydanı S mm² bolǵan sımdı x mǵa sozıw ushın zárúr F kúsh formula arqalı ańlatıladı, bul jerde E-elastiklik modulı. Mıs ushın E ni E=120000 N/mm² dep alamız. Onda
.
Buǵan E=120000 N/mm², S=2πR=2π·2=4π mm², l=1m mánislerdi qoyıp atqarılǵan jumıstı tabamız:
.
12-mısal: Kóndeleń kesiminiń maydanı S kv. birlik bolǵan háreketleniwshi porshenge iye cilindr gaz benen toltırılǵan. Gazdıń kólemi artqanda cilindrde Boyl-Mariotta nızamı pv=k=const saqlanadı dep esaplap gazdıń basım kúshi tásirinde onıń kólemi v₀ dan v₁ ge shekem ózgergende sol kúshtiń atqarǵan jumısı A tabılsın (gazdiń temperaturası ózgermeydi).
Sheshiw: x(m)-porshenniń ótken aralıǵı bolsın.

x júdá kishi dx qa ózgergende gazdıń basımı ózgermeydi kólemi v bolsa Δv ǵa ózgeredi dep oylaymız. Onda basım kúshiniń dx kesindide atqarǵan jumısı ΔА tómendegi shamalıq mánis járdeminde ańlatıladı, yaǵnıy
. hám (cilindrdıń kólemi ultanınıń maydanı S penen biyikligi dx tiń kóbeymesine teń) ekenin esapqa alsaq

payda boladı. Bul jerdegi arttırmaların dA, dv differenciallarǵa almastırıp

teńlikke iye bolamız. Bunı v₀ dan v₁ ge shekem integrallap di payda etemiz.
13-mısal: Ultanınıń radiusı R=3m, biyikligi P=5m bolǵan cilindrlik ıdıstaǵı suwdı tartıp shıǵarıw ushın kerek bolatuǵın jumıstı anıqlań.

Sheshiw: Qálegen bir deneni kóteriwge sarıplanatuǵın kúshtiń atqarǵan A jumıstıń úlkenligi deneni kóteriw biyikligi h qa baylanıslı boladı, yaǵnıy
A=Ph
bul jerde P-deneniń awırlıǵı.
Bizge belgili, ıdıstan h biyikliktegi suw qatlamın tartıp shıǵarıw ushın sarıplanatuǵın kúshtiń atqarǵan jumısı h tıń funkciyası, yaǵnıy A(h) boladı. h muǵdar dh biyiklikke artqanda suw kólemi qa (cilindrdıń kólemi ultanınıń maydanı biyikligi kóbeymesine teń), onıń awırlıǵı P, ( ) shamaǵa ( bul jerde - suwdıń tıǵızlıǵı, g erkin túsiw tezleniwi), jumıs bolsa shamaǵa artadı. arttırmanı dA differencialǵa almastırıp

teńlikke iye bolamız. Bu teńlikti h=0 den h=H qa shekem integrallap pútkil A jumıstı tabamız:
,
Buǵan ekenin esapqa alıp hám R=3m, H=5m mánislerdi qoysaq
.