Aniqlovchi(determinant)lar va ular ustida amallar

Sarrius usuli. Bu usulda determinantning o‘ng tomoniga uning I va II ustunlari takroran yozilib, 3×5 tartibli matritsa hosil qilinadi. Bu matritsaning elementlari sxematik ko‘rinishda nuqtalar singari ifodalanadi (8-rasmga qarang) va chiziqlar bilan tutashtirilgan elementlarning ko‘paytmasi I holda o‘z ishorasi, II holda esa qarama-qarshi ishora bilan olinadi.


III tartibli determinantni hisoblashga doir misol keltiramiz:

Determinantlar va matritsalar orasida quyidagi o‘xshashlik va farqlar mavjud:
1) matritsa sonlar jadvalini ifodalaydi. Determinant esa sonlar jadvalidan hosil qilinadigan sonli ifoda bo‘lib, uning qiymati sondan iboratdir;
2) matritsa sonlar jadvalini dumaloq qavslar ichiga olish bilan belgilansa, determinant bu jadvalni vertikal chiziqlar orasiga olish bilan belgilanadi;
3) A matritsa va |A| determinantni tashkil etuvchi sonlar ularning elеmеntlari deyiladi;
4) matritsa va determinanant satrlar va ustunlardan iborat;
5) determinantlarda ustun va satrlar soni tеng bo‘lishi kerak, matritsalarda esa bunday bo‘lishi shart emas.
Determinantlarning asosiy xossalari.
Endi ixtiyoriy tartibli determinantlar uchun o‘rinli bo‘lgan xossalar bilan tanishamiz. Aniqlik va soddalik uchun umumiy holda ifodalangan bu xossalarni uchinchi tartibli determinantlar misolida ko‘rsatamiz va isbotlaymiz.
1-xossa. Agar determinantda har bir i-satr (i=1,2,3, ∙∙∙,n) i-ustun bilan almashtirilsa, uning qiymati o‘zgarmaydi.
Masalan,

Bu tenglik bevosita III tartibli determinantni (2) hisoblash formulasidan kelib chiqadi.
Demak determinantning satr va ustunlari tеng kuchlidir, ya’ni satr (ustun) uchun o‘rinli bo‘lgan tasdiq ustun (satr) uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Bundan tashqari bu xossadan matritsani transponirlashda uning determinanti o‘zgarmay qolishi, ya’ni detA=detA^T bo‘lishi kelib chiqadi. Shu sababli determinantning keyingi xossalarini faqat satrlar uchun ifodalaymiz.
2-xossa. Determinantda ixtiyoriy ikkita satrlar o‘rni o‘zaro almashtirilsa, determinantning qiymati faqat ishorasini o‘zgartiradi.
Masalan,
.
Bu tasdiq ham bevosita (2) formuladan kelib chiqadi.
3-xossa. Agar determinantda ikkita satr elеmеntlari bir xil bo‘lsa, uning qiymati nolga tеng bo‘ladi.
Isbot: Berilgan determinantning qiymatini Δ , uning bir xil elеmеntli satrlarining o‘rinlarini almashtirishdan hosil bo‘lgan determinantning qiymatini esa Δ′ deb belgilaymiz. Unda, 2-xossaga asosan, Δ′= –Δ bo‘ladi. Ammo determinantda bir xil elеmеntli satrlarning o‘rinlari almashtirilganligi uchun uning ko‘rinishi o‘zgarmay qoladi va shu sababli Δ′= Δ bo‘ladi. . Bu tengliklardan Δ = - Δ natijani olamiz va undan Δ=0 ekanligi kelib chiqadi.
Masalan, hozircha biz IV tartibli determinantni hisoblash formulasini bilmasakda, 3-xossaga asosan, birinchi va uchinchi satrlari bir xil bo‘lgan ushbu determinantning qiymatini yozishimiz mumkin:

4-xossa. Determinantda biror satr elementlari umumiy λ ko‘paytuvchiga ega bo‘lsa, uni determinant belgisidan tashqariga chiqarib yozish mumkin.
Masalan,

Isbot: III tartibli determinantni (2) hisoblash formulasidagi yig‘indining har bir qo‘shiluvchisida λ umumiy ko‘paytuvchi qatnashadi. Bu λ umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarib, 4-xossadagi tasdiqning o‘rinli ekanligiga ishonch hosil etamiz.
5-xossa. Agar determinantda biror satr faqat nollardan iborat bo‘lsa, uning qiymati nolga tang bo‘ladi.
Bu xossaning isboti oldingi xossadan λ=0 bo‘lgan holda kelib chiqadi.
Masalan, quyidagi III tartibli determinantning qiymatini (2) formula bilan hisoblab o‘tirmay, 4-xossaga asosan to‘g‘ridan-to‘g‘ri

deb ta’kidlay olamiz.