Aniq va tabiiy fanlar metodikasi

4 TO'PLAMLARNING KESISHMASI VA UNING XOSSALARI.

Ikkita to'plam berilgan bo'lsin: A={a;b;c;d} va B={c;d;e}.A va B to'plamga tegishli bo'lgan umumiy elementlardan iborat yangi P to'plamni tuzamiz. P={c;d} . P to'plam A va B to'plamlarning kesishmasidan iborat.

Ikki to'plamning umumiy elementlaridan tashkil topgan uchinchi to'plamga to'plamlarning kesishmasi deb aytiladi. A ⁿ B deb belgilanadi. Bu erda ⁿ simvoli to'plamlar kesishmasining belgisidir. A ⁿ B to'plamning har qanday x elementi "x ^e A" va "x^e B" xossasiga ega, shunga ko'ra to'plamlar kesishmasini quyidagicha yozish mumkin: A n B={x/xe A va xe B}

Agar A va В to'plamlar umumiy elementga ega bo'lmasa, u holda bu to'plamlar kesishmaydi va A ^ B= 0 deb yoziladi. Masalan, bir xonali va ikki xonali natural sonlar to'plami kesishmaydi.

Agar A va В to'plamlar kamida bitta umumiy elementga ega bo'lsa, bu to'plamlar kesishmasi 0 to'plam bo'lmaydi va A r\ В ^ 0 yoziladi.

Eyler-Venn diagrammasida to'plamlar kesishmasi quyidagicha ifodalanadi:

INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\User\\Documents\\media\\image9.jpeg" \* MERGEFORMATINET

To'plamlar kesishmasining xossalari:

1. 
   Istalgan A va B to'plamlar uchun to'plamlar kesishmasi kommutativdir, ya'ni A n B=B n A
   
2. 
   Ixtiyoriy A,B,C to'plamlar uchun to'plamlar kesishmasi assotsiativdir.
   

(A n B) n C = A n (B n C)

Bu xossa Aⁿ B ⁿ C ifodani qavssiz yozishga imkon beradi, shuningdek, istalgan sonli to'plam kesishmasini topishda ham xossadan keng foydalaniladi.

Isboti: To'plam osti munosabatining 1- xossasidan foydalanamiz, ya'ni "Agar B ^ A va A ^ B bo'lsa, u holda A=B bo'ladi. x^e (A ⁿ B)ⁿ C bo'lsin, kesishma ta'rifiga asosan x ^e Aⁿ B va x^eC; yana bir marotaba to'plamlar kesishmasi ta'rifini qo'llab x e A va xeB, xeC yoki xe A, xeB va xeC ni hosil qilamiz. Bundan xeA va xeBnC, bundan xe An (BnC).Demak, (A n B) n C to'plamning har qanday elementi A n (B n C) to'plamining ham elementi bo'ladi, to'plam osti ta'rifiga ko'ra (A ⁿ B)ⁿ C ^ A ⁿ (B ⁿ C). Xuddi shunga o'xshash A ⁿ (B ⁿ C) ^ (A ⁿ B)ⁿ C ni ham ko'rsatish mumkin. Yuqorida aytilgan to'plam osti munosabati xossasiga ko'ra to'plamlar kesishmasining assotsiativlik xossasi tasdiqlanadi: (A ⁿ B) ⁿ C

= A n (B n C)

3. 
   xossa: Agar A ^ B bo'lsa, u holda A ⁿ B=A. Haqiqatdan ham , agar A­B to'plamning to'plam ostisi bo'lsa, bu to'plamlar orasidagi munosabat Eyler - Venn doirasida quyidagicha tasvirlanadi.
   

INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\User\\Documents\\media\\image10.jpeg" \* MERGEFORMATINET

A va B ga tegishli elementlar A to'plamning elementlari hisoblanadi, ya'ni A n B=A.

4. 
   xossa: Istalgan A to'plam uchun quyidagi yozuv o’rinli:
   

A^A=A; A^ 0=0; A^J=A; Jn0=0.