Aniq integralning tadbiqlari (Yassi shaklning yuzasi. Egri chiziq yoyi uzunligi, Hajmlarni hisoblash) Reja


Dekart koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi hisoblash



Download 77,88 Kb.
bet2/3
Sana19.07.2021
Hajmi77,88 Kb.
#123297
1   2   3
Bog'liq
aniq tadbiqlar

3.1. Dekart koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi hisoblash.
Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq  tenglama bilan berilgan bo’lsin.

B u egri chiziqning x=a va x=b vertical to’g’ri chiziqlar orasidagi AV yoyining uzunligini topamiz AB yoyda abstsissalari  bo’lgan A, M1, M2,…,Mi,…B nuqtalarni olamiz va AM1, M1M2,…Mn-1 B vatarlarni o’tkazamiz, ularning uzunliklarini mos ravishda  bilan belgilaymiz.

AB yoy ichiga chizilgan aniq chiziqning uzunligi

 bo’lgani uchun AB yoyning uzunligi

bo’ladi.

Faraz qilaylik,  funksiya va uning  hosilasi [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsin.

U holda

Yoki Lagranj teoremasiga asosan

 bunda

 bo’lgani uchun



 bo’ladi

Ichki chizilgan siniq chiziqning uzunligi esa

 bo’ladi

Shartga ko’ra  funksiya uzluksiz. Demak,  funksiya ham uzluksizdir. Shuning uchun integral yig’indining limiti mavjud va u qo’yidagi aniq integralga teng.

Parametric ko’rinishda berilgan bo’lsin, bunda  uzluksiz hosilali uzluksiz funksiyalar va  berilgan oraliqda nolga aylanmaydi.

Bu holda (3) tenglama biror  funksiyani aniqlaydi.


Bu funksiya uzluksiz bo’lib  uzluksiz hosilaga ega,  bo’lsin (

Agar egri chiziq fazoda

Parametric tenglamalar bilan berilgan va  funksiyalar [a, b] kesmada uzluksiz hamda uzluksiz hosilalarga ega bo’lsa, egri chiziq aniq limitlarga ega bo’ladi va u

  Agar [ , ] a b kesmada f x( ) 0  bo’lsa, u holda, y f x  ( ) egri chiziq, Ox o’q hamda x a  , x b  to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi ( ) b a Q f x dx   (1) Agar f x( ) 0  [ , ] a b da bo’lsa, u holda ( ) b a f x dx  aniq integral ham  0 bo’ladi. Absolyut qiymati jihatidan u mos egri chiziqli trapetsiyaning Q yuziga teng: ( ) b a   Q f x dx  Agar f x( ) funksiya [ , ] a b kesmada chekli marta ishorasini o’zgartirsa, u holda butun [ , ] a b kesma bo’yicha olingan intervali qism-qism kesmalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz. Integral f x( ) 0  bo’lgan joylarda musbat va f x( ) 0  bo’lganda manfiy bo’ladi. Bunday holda | ( ) | b a Q f x dx   bo’ladi. Misol 1. y x  sin sinusoid ava Ox o’q bilan 0 2  x  bo’lganda Tekislikdagi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. Maktab geometriyasida tekislikdagi egri chiziqlardan faqat aylana va uning yoylari uzunligini hisoblash formulasi beriladi. Parabola, giperbola, sinusoida kabi egri chiziqlarning turli yoylari uzunligini hisoblash masalasi amaliyotda kerak bo‘ladi. Bu masala ham aniq integral yordamida o‘z yechimini topadi.



у=f(x), x[a,b], funksiya bilan berilgan egri chiziqning AB yoyi uzunligini topish masalasini qaraymiz (78-rasmga qarang).


78-rasm

Bunda f(x) differensiallanuvchi va uning f′(x) hosilasi [a,b] kesmada uzluksiz deb hisoblaymiz. Berilgan [а,b] kesmani



а=х<х1<х2< ∙∙∙<хi-1<хi< ∙∙∙<xn=b

nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz. Natijada AB yoy n ta kichik Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarga ajraladi.



Agar AB yoy uzunligi va Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalar uzunliklari Δli deb olsak, unda

deb yozish mumkin. Endi kichik Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarni ularning vatari , ya’ni Ai–1Ai kesmalar bilan almashtiramiz. To‘g‘ri burchakli Ai–1Aiuchburchakda

|Ai–1D|= xi –xi–1 x, |AiD|=f(xi)–f(xi–1)=Δ f(xi)

katetlar bo‘yicha Ai–1Ai gipotenuza uzumligini Pifagor teoremasidan foydalanib topamiz:




. Bu yerda Δl≈ |Ai–1Ai| deb, izlanayotgan yoy uzunligi uchun ushbu taqribiy tenglikni hosil etamiz:



 .

Bu taqribiy tenglikdan aniq tenglikka o‘tish uchun n→∞, Δn→0 deb olamiz. Bu holda, hosila ta’rifiga asosan, deb olish mumkin. Shu sababli yuqoridagi Ln yig‘indini  funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi deb qarash mumkin. Unda, aniq integral ta’rifiga asosan, izlanayotgan yoy uzunligi uchun quyidagi formulani hosil etamiz:





 . (6)

Misol sifatida y=lnsinx egri chiziqning x=π/3 va x=π/2 abssissali nuqtalari orasidagi yoyining uzunligini topamiz. Bunda y′=ctgx ekanligidan va universal almashtirmadan foydalanib, (6) formulaga asosan, ushbu natijani olamiz:





 .

Agar egri chiziq x=φ(t) , y=ψ(t) ( t[α, β]) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, unda dx= φ′(t)dt , dy= ψ′(t)dt va




bo‘lgani uchun (6) formula quyidagi ko‘rinishga keladi:



 . (7)

Misol sifatida x=etcost , y=etsint (t[0,lnπ]) parametrik tenglamasi bilan berilgan egri chiziq yoyi uzunligini topamiz. Bunda




Download 77,88 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish