3.1. Dekart koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi hisoblash.
Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq tenglama bilan berilgan bo’lsin.
B u egri chiziqning x=a va x=b vertical to’g’ri chiziqlar orasidagi AV yoyining uzunligini topamiz AB yoyda abstsissalari bo’lgan A, M1, M2,…,Mi,…B nuqtalarni olamiz va AM1, M1M2,…Mn-1 B vatarlarni o’tkazamiz, ularning uzunliklarini mos ravishda bilan belgilaymiz.
AB yoy ichiga chizilgan aniq chiziqning uzunligi
bo’lgani uchun AB yoyning uzunligi
bo’ladi.
Faraz qilaylik, funksiya va uning hosilasi [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsin.
U holda
Yoki Lagranj teoremasiga asosan
bunda
bo’lgani uchun
bo’ladi
Ichki chizilgan siniq chiziqning uzunligi esa
bo’ladi
Shartga ko’ra funksiya uzluksiz. Demak, funksiya ham uzluksizdir. Shuning uchun integral yig’indining limiti mavjud va u qo’yidagi aniq integralga teng.
Parametric ko’rinishda berilgan bo’lsin, bunda uzluksiz hosilali uzluksiz funksiyalar va berilgan oraliqda nolga aylanmaydi.
Bu holda (3) tenglama biror funksiyani aniqlaydi.
Bu funksiya uzluksiz bo’lib uzluksiz hosilaga ega, bo’lsin (
Agar egri chiziq fazoda
Parametric tenglamalar bilan berilgan va funksiyalar [a, b] kesmada uzluksiz hamda uzluksiz hosilalarga ega bo’lsa, egri chiziq aniq limitlarga ega bo’ladi va u
Agar [ , ] a b kesmada f x( ) 0 bo’lsa, u holda, y f x ( ) egri chiziq, Ox o’q hamda x a , x b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi ( ) b a Q f x dx (1) Agar f x( ) 0 [ , ] a b da bo’lsa, u holda ( ) b a f x dx aniq integral ham 0 bo’ladi. Absolyut qiymati jihatidan u mos egri chiziqli trapetsiyaning Q yuziga teng: ( ) b a Q f x dx Agar f x( ) funksiya [ , ] a b kesmada chekli marta ishorasini o’zgartirsa, u holda butun [ , ] a b kesma bo’yicha olingan intervali qism-qism kesmalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz. Integral f x( ) 0 bo’lgan joylarda musbat va f x( ) 0 bo’lganda manfiy bo’ladi. Bunday holda | ( ) | b a Q f x dx bo’ladi. Misol 1. y x sin sinusoid ava Ox o’q bilan 0 2 x bo’lganda Tekislikdagi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. Maktab geometriyasida tekislikdagi egri chiziqlardan faqat aylana va uning yoylari uzunligini hisoblash formulasi beriladi. Parabola, giperbola, sinusoida kabi egri chiziqlarning turli yoylari uzunligini hisoblash masalasi amaliyotda kerak bo‘ladi. Bu masala ham aniq integral yordamida o‘z yechimini topadi.
у=f(x), x[a,b], funksiya bilan berilgan egri chiziqning AB yoyi uzunligini topish masalasini qaraymiz (78-rasmga qarang).
78-rasm
Bunda f(x) differensiallanuvchi va uning f′(x) hosilasi [a,b] kesmada uzluksiz deb hisoblaymiz. Berilgan [а,b] kesmani
а=х0 <х1<х2< ∙∙∙<хi-1<хi< ∙∙∙<xn=b
nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz. Natijada AB yoy n ta kichik Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarga ajraladi.
Agar AB yoy uzunligi l va Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalar uzunliklari Δli deb olsak, unda
deb yozish mumkin. Endi kichik Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarni ularning vatari , ya’ni Ai–1Ai kesmalar bilan almashtiramiz. To‘g‘ri burchakli Ai–1AiD uchburchakda
|Ai–1D|= xi –xi–1=Δ xi , |AiD|=f(xi)–f(xi–1)=Δ f(xi)
katetlar bo‘yicha Ai–1Ai gipotenuza uzumligini Pifagor teoremasidan foydalanib topamiz:
. Bu yerda Δli ≈ |Ai–1Ai| deb, izlanayotgan yoy uzunligi l uchun ushbu taqribiy tenglikni hosil etamiz:
.
Bu taqribiy tenglikdan aniq tenglikka o‘tish uchun n→∞, Δn→0 deb olamiz. Bu holda, hosila ta’rifiga asosan, deb olish mumkin. Shu sababli yuqoridagi Ln yig‘indini funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi deb qarash mumkin. Unda, aniq integral ta’rifiga asosan, izlanayotgan yoy uzunligi l uchun quyidagi formulani hosil etamiz:
. (6)
Misol sifatida y=lnsinx egri chiziqning x=π/3 va x=π/2 abssissali nuqtalari orasidagi yoyining uzunligini topamiz. Bunda y′=ctgx ekanligidan va universal almashtirmadan foydalanib, (6) formulaga asosan, ushbu natijani olamiz:
.
Agar egri chiziq x=φ(t) , y=ψ(t) ( t[α, β]) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, unda dx= φ′(t)dt , dy= ψ′(t)dt va
bo‘lgani uchun (6) formula quyidagi ko‘rinishga keladi:
. (7)
Misol sifatida x=etcost , y=etsint (t[0,lnπ]) parametrik tenglamasi bilan berilgan egri chiziq yoyi uzunligini topamiz. Bunda
Do'stlaringiz bilan baham: |