Aniq integralning tadbiqlari

4. Ko`ndalang kesim yuzi ma`lum bo`lgan jismning hajmi
va kesmalardan o`tgan hamda o`qqa perpendikulyar bo`lgan tekisliklar bilan chegaralangan jismning hajmini topish talab qilinsin. U holda jismni ta o`zaro parallel bo`lgan tekisliklar bilan o`qiga parallel holda bo`laklarga ajratamiz. Ixtiyoriy va tekisliklar bilan chegaralangan jismning hajmi , asos yuzi , balandligi bo`lsin. U holda,
(6)
o`rinli bo`ladi. Jismning umumiy hajmi quyidagicha bo`ladi:
. (7)
Bunda, balandlik larning eng kattasi. (7) tenglik integral yig`indidan iborat. Shuning uchun (7) ni quyidagicha ifodalash mumkin:
(8)
(8) - ko`ndalang kesim yuzi ma`lum bo`lgan jismning hajmini topish formulasi.
Misol. chiziqlar bilan chegaralangan hamda o`q atrofida aylanishdan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.
Yechilishi: Hosil bo`ladigan jism aylanish paraboloididan iborat bo`ladi. Uning hajmini (8) formula yordamida topamiz. Bunda , va dir.

Ba`zi jismlarning hajmini topish formulalari:
Piramidaning hajmi:

Paraboloid segmentiining hajmi:

(ya`ni silindr hajmining yarimiga teng- Arximed tadqiqoti)
Elliptik asosli konus:
( - kata yarim o`q)
Ellipsoid:

Sharning hajmi:

Mustaqil yechish uchun mashqlar
№56. Birinchi chorakda yotgan, koordinata o`qlari hamda parabola yoyi bilan chegaralangan figuraning o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.
№57. Birinchi chorakda yotgan hamda va chiziqlar bilan chegaralangan tekislikning o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.
№58. parabola va to`g`ri chiziqning kesishishidan hosil bo`lgan figuraning o`qi arofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.
№59. o`q, - sinusoida yoyi hamda - kosinusoida yoyi bilan chegaralangan figuraning o`q atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.
№60. kosinusoida va koordinatalar markazidan o`tib, o`qiga perpendikulyar bo`lgan tekislik bilan chegaralangan figuraning o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.
№61. Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan hamda o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismlar hajmini toping:
a) v)
b) g)
№62. Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan va o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismlar hajmini toping:
a) va v)
b) g)