Aniq integralning tadbiqlari tekis shakl yuzini hisoblash Darajali qator va uning yaqinlashish radiusi

Birinchi tur xosmas integrallar va ularning yaqinlashuvchiligi
f (x) funksiya [a,) oraliqda (a R) berilgan bo’lib, ixtiyoriy [a,t] da (a  t  ) integrallanuvchi bo’lsin: f (x) R([a,t]). Ushbu
F(t) = belgilashni kiritamiz.
1-ta’rif. Agar t   da F(t) funksiyaning limiti mavjud bo’lsa, bu limiti f (x) funksiyaning [a, ) cheksiz oraliq bo’yicha xosmas integrali deyiladi va kabi belgilanadi:
(1)

1. 
   integralni chegarasi cheksiz xosmas integral ham deb yuritiladi.
   

2-ta’rif. Agar t   da F(t) funksiyaning limiti mavjud va chekli bo’lsa, (1) integral yaqinlashuvchi deyiladi.
Teorema (Koshi teoremasi). Ushbu integralning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun,   0 son olinganda ham, shunday   0 son topilib, b   t  b, b   t  b tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy t ва t lar uchun tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.

Musbat hadli qatorlarning yaqinlashish alomatlari

qatorni qaraymiz va uning qanday shartiarda yaqinlashishini o'rganamiz.
1 - tasdiq. Musbat hadli (1) qatorning yaqmlashishi uchun bu qator qismiy yig'indilari ketma-ketligining chegaralangan bo'lishi zarur va yetarli.
1 - teorema (Koshi alomati). Agar 0 < q < 1 bo'lib, biror N nomerdan boshlab
k ≥ N tengsizlik bajarilsa, (1) qator yaqinlashadi.
2 - teorema (Dalamber alomati). Agar 0 < q < 1 bo'lib, biror N nomerdan boshlab\

tengsizlik bajarilsa. (1) qator yaqinlashadi.
3 - teorema (Dalamberning limit ko'rinishidagi alomati). Agar berilgan qatorning hadlari biror nomerdan boshlab musbat bo'lib, limit mavjud bo'lsa, (1) qator Q < 1 bo'lganda yaqinlashadi va Q > 1 bo'lganda esa uzoqlashadi.


Xosmas integrallarni hisoblash
Ushbu xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lib, uni hisoblash talab etilsin. Aytaylik, f (x) funksiya [a,) oraliqda boshlang’ich F(x) funksiyaga ega va x   da F(x) funksiya chekli limiti mavjud bo’lsin:
Unda (1) bo’ladi. (1) formula Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi.
Faraz qilaylik, f (x) va g(x) funksiyalar [a,) oraliqda uzluksiz, f (x) va g (x) hosilalarga ega bo’lsin. Agar

1. 
   integral yaqinlashuvchi;
   
2. 
   Ushbu limit mavjud va chekli bo’lsa, u holda integral yaqinlashuvchi bo’lib,
   

(2)
( )
bo’ladi.

2. 
   formula bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.