Aniq integral. Mustaqil yechish uchun misollar

ANIQ INTEGRAL. Mustaqil yechish uchun misollar

Aniq integral _{ } ko’rinishida yoziladi va Nyuton-Leybnits formulasiga ko’ra hisoblanadi:

F(x) funksiya y=f(x) uchun boshlang’ich funksiya, a-integralning quyi, b-yuqori chegaralari.
Aniq integralni ham xuddi aniq bo’lmagan integralga o’xshab integrallab, so’ngra Nyuton-Leybnits formulasiga ko’ra hisoblanadi.
Aniq integral yordamida egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, aylanma jismlar hajmini, egri chiziq yoyining uzunligini va h.k.larni hisoblash mumkin.
Quyidagi aniq integralni hisoblang:
1. _{ }
2. _{ }
3.  
4. _{ }
=_{ }
5. x²+y²=8 aylana y=x²/2 bilan ikki qismga bo’lingan. Ikkala qismini yuzasini toping.

Yechish: Grafiklar kesishish nuqtalarini topamiz:

s₁
s<sub>2






 </sub> (kv.birl.)
(kv.birl.)

6. y=2-x² va y³=x² egri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping:

Yechish: Egri chiziqlar kesishish nuqtalarini topamiz:

^{0 1}

_{ } (kv.birl.)
7. y=x² va x=y² parabolalar bilan chegaralangan figurani Ox o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jism hajmini hisoblang: $
Yechish: sistemasidan kesishish nuqtalarini topamiz:


8. yarim kubik parabolaning parabola ichki qismi bilan chegaralangan yoy uzunligini hisoblang:
Yechish: Egri chiziqlarning kesishish nuqtasini aniqlaymiz:


Mustaqil yechish uchun misollar

Quyidagi aniq integralni hisoblang:

9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29.
Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan figuralar yuzalarini hisoblang:
30. va Ox o’q bilan
va
32. _{ } chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.

Egri chiziqlar yoylarining uzunliklari hisoblansin:

33. dan gacha
34. dan gacha
35. dan gacha
36. chiziqlar bilan chegaralangan figurani Oy o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning hajmini toping.
37. chiziqlar bilan chegaralangan figurani Ox o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning hajmini toping.
38. Ox o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning hajmini hisoblang.

Integrallarni hisoblang:

39. 40.
41. 42.
43. 44.
45 46.
47. parabola va y=0, x=-1, x=4 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.
48. va chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.
49. egri chiziqning O(0,0) dan V( ) gacha bo‘lgan yoyining uzunligini toping.
50. egri chiziqning dan gacha bo‘lgan yoyining uzunligini toping.
51. chiziqlar bilan chegaralangan figurani Ox o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning hajmini hisoblang.