Analitik geometriyaning amaliy masalalarga tadbiqi. Tekislik va to`G’ri chiziqning fazodagi tenglamalari. Reja

2-misol. 2x+3y-6z+21=0 tekislik tenglamasini normal holga keltiring.

Yechish: Normallashtiruvchi ko‘paytuvchini topamiz (D=21>0 bo‘lgani uchun manfiy ishorani olamiz):

Shunday qilib, tekislikning normal tenglamasi

(-2/7)x-(3/7)y+(6/7)z-3=0

ko‘rinishda bo‘ladi.

3-misol. M₀(3; 5; -8) nuqtadan 6x-3u+2z-28=0 tekislikkacha bo‘lgan masofani aniqlang.

Yechish: Nuqtadan tekislikkacha masofa formulasidan foydalanib,

ni topamiz. M₀ nuqtaning koordinatalarini normal tenglamaga qo‘yganda natija manfiy bo‘lgani uchun, M₀ nuqta va koordinat boshi tekislikning bir tomonida yotadi.

4-misol. M(2; 3; 5) nuqtadan o‘tib, vektorga perpendikulyar tekislik tenglamasini tuzing.

Yechish: ya’ni .

5-misol. M(2; 3; -1) nuqtadan o‘tib, 5x-3y+2z-10=0 tekislikka parallel tekislik tenglamasini tuzing.

Yechish: A(x-2)+B(y-3)+C(z+1)=0. Berilgan tekislikning normali bilan izlangan tekislikning normal vektori ustma-ust tushadi, demak, A=5, B=-3, C=2 va izlangan tekislik tenglamasi 5(x-2)-3(y-3)+2(z+1)=0 yoki 5x-3y+2z+1=0 bo‘ladi.

6-misol. P(2; 3; -5) nuqtadan koordinat o‘qlariga perpendikulyar tushirilgan.Ularning asosidan o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzing.

Yechish: Koordinat tekisliklariga tushirilgan perpendikulyarlarning asosi M₁(2; 3; 0), M₂(2, 0, -5), M₃(0, 3, -5) nuqtalar bo‘ladi. M₁, M₂, M₃ nuqtadan o‘tadigan

yoki 15x+10y-6z-60=0 tekislik tenglamasini hosil qilamiz.

7-misol. A(5, 4, 3) nuqtadan o‘tuvchi va koordinat o‘qlaridan teng kesmalar ajratuvchi tekislik tenglamasini yozing.

Yechish: Tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasidan foydalanib, (a=b=c) x/a+y/a+z/a=1 ga ega bo‘lamiz. A nuqtaning koordinatalari izlangan tekislik tenglamasini qanoatlantiradi, shuning uchun 5/a+4/a+3/a=1, bundan: a=12. Shunday qilib, x+y+z-12=0 tenglamaga ega bo‘lamiz.

8-misol. x+y+5z-1=0, 2x+3y-z+2=0 tekisliklarning kesishgan chiziqlardan va M(3, 2, 1) nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

Yechish: Tekisliklar dastasi formulasidan foydalanib, quyidagini yozamiz:

M nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirishidan ni topamiz: bundan: . Shunday qilib, izlangan tenglama

yoki

5x+14y-74z+31=0

bo‘ladi.