“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

II BOB. PARABOLIK VA GIPERBOLIK TENGLAMALAR UCHUN AYIRMALI SXEMALAR

2.1. Ayirmali sxemaning turg’unligi

Biz yozuvni qisqaroq qilish maqsadida ayirmali sxemaning turg’unligini Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini yechish misolida ko’rib chiqamiz.
Faraz qilaylik, soha to’g’ri burchakli to’rtburchak bo’lib, uning chegarasi bo’lsin. Shunday funksiyani topish kerakki, u da
(2.1)
tenglamani qanoatlantirib, chegarada Dirixle shartini qanoatlantirsin:
, (2.2)
bunda maʼlum funksiya. Faraz qilaylik (2.1) — (2.2) chegaraviy masala sohada yagona yechimga ega va bu yechim da va uzluksiz hosilalarga ega bo’lsin.
Biz quyidagi to’g’ri burchakli to’rtburchaklardan iborat bo’lgan to’rni qaraymiz:
(2.3)
Endi da yotuvchi barcha tugunlarni deb olib, chegaraviy nuqtalar sifatida da yotuvchi tugunlarni olamiz. Keyin

Laplas operatorini ga tegishli nuqtalarda 3-chizmadagi besh nuqtali andaza yordamida
(2.4)
ayirmali sxema bilan approksimatsiya qilamiz. Agar , bo’lsa, u holda (2.4) approksimatsiyaning xatoligi

dan iborat. (2.2) shartni quyidagilarga almashtiramiz:
, (2.5)

3-chizma.

Qaralayotgan soha to’g’ri burchakli to’rtburchak bo’lganligi tufayli (2.5) approksimatsiyaning xatoligi nolga teng. Chegaradagi (2.5) qiymatlar maʼlum bo’lganligi uchun ularni (2.4) tenglamaga qo’yib, keyin maʼlum hadlarni o’ng tomonga o’tkazib, quyidagi chiziqdi algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
, ; . (2.6)
Ravshanki, (2.6) tenglamalar faqat chegara yaqinidagi tugunlarda (2.4) tenglamalardan farq qiladi. Masalan, ko’rinishdagi tugunlarda (2.6) tenglama quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
.
(2.6) sistemada tenglamalarning soni nomaʼlumlarning soniga teng. Shuning uchun ham (2.4) sistemaning matritsasini to’r ustidagi funksiyani o’ziga akslantiradigan chiziqli operatordek qarash mumkin.
Endi (2.4), (2.5) tenglamalar sistemasining yagona yechimi mavjudligini ko’rsatamiz.
1 - lemma. Faraz qilaylik miqdorlar to’r ustida aniqlangan qandaydir funksiya bo’lsin. Agar sohaning tugunlarida shart bajarilsa, u holda uzining eng katta qiymatini ning chegarasida, yaʼni da qabul qiladi.
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz. Aytaylik o’zining eng katta qiymatini ichki nuqtada qabul qilsin. Umuman aytganda, bunday nuqtalar ko’p bo’lishi mumkin. Ular orasida shunday tugunni tanlaymizki, , , , qiymatlarning birortasi dan qatʼiyan kichik, masalan, bo’lsin. U holda tugunda quyidagiga ega bo’lamiz:
(2.7)
chunki bo’lib, qolgan kichik qavslar ichidagi ifoda musbat emas, (2.7) tengsizlik esa lemma shartiga ziddir. Demak, bizning farazimiz noto’g’ri ekan. Shu bilan lemma isbotlandi.
2-lemma. Faraz qilaylik miqdorlar to;r ustida aniqlangan qandaydir funksiya bo’lsin. Agar ning tugunlarida shart bajarilsa, u holda o’zining eng kichik qiymatini ning chegarasida, yaʼni da qabul qiladi.
Bu lemma ham xuddi oldingisidek isbotlanadi.