“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

1.2 Turg’unlik, approksimatsiya va yaqinlashish

Faraz qilaylik chegarasi bo’lgan sohada ushbu
(1.8)
, (1.9)
chegaraviy masala berilgan bo’lsin. Bu yerda — ixtiyoriy ikkinchi tartibli chiziqli differensial operator, — birinchi tartibli differensial operator yoki chekli algebraik ifoda, xususiy holda va , , , …, — berilgan funksiyalar.
Endi da yotuvchi qandaydir to’r sohani quramiz, keyin orqali ning nuqtalarida (tugunlarda) aniqlangan funksiyalarning fazosini belgilaymiz, operator dagi funksiyalarni biror to’r sohada aniqlangan funksiyalarga o’tkazsin, da aniqlangan funksiyalar to’plamini orqali belgilaymiz. Chegaraviy shartlarni approksimatsiyalash uchun sohaning chegarasiga mos keladigan to’r chegarasini tanlab, orqali da aniqlangan funksiyalar to’plamini belgilaymiz.
1 - taʼrif. Agar bo’lib, funksiya da aniqlangan bo’lsa, u holda ning to’plamdagi izi deb shunday funksiyaga aytiladiki, u to’plamda aniqlangan va bu yerda bilan ustma-ust tushadi.
Agar funksiya ni o’z ichiga olgan to’plamda aniqlangan bo’lsa, u holda ning dagi izini orqali belgilaymiz.
Faraz qilaylik (1.8) va (1.9) chegaraviy masala yechimlarining fazosi, (1.8) tenglamaning o’ng tomonidagi funksiyalarning fazosi, esa da aniqlangan funksiyalarning fazosi bo’lsin.
2 – ta’rif. Faraz qilaylik , , , , , fazolarda
, , , , ,
normalar aniqlangan bo’lsin. Bu normalar moslangan deyiladi, agar da har qanday yetarlicha silliq , , funksiyalar uchun quyidagi
,
,

munosabatlar o’rinli bo’lsa.
3 - taʼrif. Agar

bo’lsa, u holda to’r funksiyasi (1.8), (1.9) chegaraviy masalaning yechimiga yaqinlashadi deyiladi.
Agar ga bog’liq bo’lmagan va o’zgarmas sonlar uchun

tengsizlik bajarilsa, u holda yaqinlashishning tartibi ga nisbatan ga teng deyiladi.
To’r ustida ushbu
, (1.10)
(1.11)
masalani qaraymiz, bu yerda va — chiziqli operatorlar.
Endi quyidagi belgilashni kiritamiz:

(1.12)