Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi 18. 06-guruh talabasi Soliyeva Robiyaxon Abduxalil qizining

1.4. Giperbolik tipdagi bir oʻlchovli tenglamani sonli yechishning har xil usullari.

Differensial chegaraviy masala. Quyida bir oʻlchovli ikkinchi tartibli giperbolik tipdagi xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari bilan tanishiladi. Buning uchun quyidagi chegaraviy masala (yupqa torning kichik tebranishlari haqidagi masala) qaraladi:
, , ,
, , , (1.1)
, ,
Quyidagi holatlar tahlil qilinadi:

1. 
   chegaraviy masalanni yechish uchun ayirmali sxemalarni tuzish uslublari;
   
2. 
   boshlang’ich va chegaraviy shartlarni approksimatsiyalash muammolari;
   
3. 
   hisoblashlar ketma-ketligi.
   

To’rli soha. Qaralayotgan chegaraviy masala uchun:
, , ,
, , ,
bu yerda – to’r funksiyasining tugunga tegishli komponentasi; ; - vaqt t bo’yicha qadam, ; – koordinata bo’yicha qadam, ; .
Ayirmali masala (ayirmali sxema). Qaralayotgan differensial masala uchun
qo’llanilishi mumkin bo’lgan ayirmali sxemalardan biri quyidagicha:
,
, ;
, , ;
,
Ayirmali sxemaning shabloni.
Qaralayotgan ayirmali sxema uchun berilgan va larda yechimning qiymatini to’rning to’rtta nuqtasi bo’yicha bog’lovchi tuzilma qaralayot-gan ayirmali sxemaning shabloni deb ataladi (1.3-rasm).

1.3-rasm. Ayirmali sxemasi shabloni.
Approksimatsiya xatoligi (tafovut).
Tafovutning qiymati haqida tasavvurga ega bo’lih uchun dastlab tayanch nuqtani berish va bu nuqtaga nisbatan (yoki ) ifodaganing Teylor qatoridagi yoyilmasiga kiruvchi ning qiymatini tasavvur qilish lozim. Masalan, tayanch nuqt sifatida nuqtani tanlash bilan yuqorida qaralgan ayirmali sxema uchun ushbu

tenglikka ega bo’lamiz.
Izoh. To’lqin tenglamasi uchun «xoch» («krest») sxemaning approksimatsiya tartibi boshlangich shartlarning approksimatsiya tartibi bilan aniqlanadi. Bu sxema ichki nuqtalar uchun har ikkala o’zgaruvchilar bo’yicha ikkinchi tartiblidan kichik bo’lishi mumkin.
Ustivorlikning spektral belgisi. Ayirmali sxema ustivorligi to’grisida nazariy ma’lumotlarni [1,2,5] adabiyotlardan to’laroq olish mumkin.
Birjinsli ayirmali masala uchun yechimni quyidagicha izlaymiz:

Bu yechimni ayirmali tenglamaga qo’ysak, quyidagiga ega bo’lamiz:

yoki

Ko’rinib turibdiki, bu kvadrat tenglama ildizlarining ko’paytmasi 1 ga teng. Agar kvadrat tenglamaning ushbu diskriminanti

manfiy bo’lsa, u holda
,
ildizlar o’zaro qoshma komplek va ularning moduli birga teng.
Ayirmali sxema ustivor bo’lishi uchun ushbu tengsizlik bajarilishi zarur, ya’ni shunday tanlanishi lozimki, quyidagi tengsizlik bajarilsin: .