Amaliy matematika

n o`lchovli arifmetik vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagicha bajariladi:

1. 
   Berilgan x va y vektorlarni qo`shganda ularning mos koordinatalari qo`shiladi: x + y = (x₁ + y₁; x₂ + y₂; …; x_n + y_n).
   
2. 
   Berilgan x vektorni k haqiqiy songa ko`paytirganda uning har bir koordinatasi k marta ortadi: kx = (kx₁; kx₂; …; kx_n).
   

Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga bo`ysinadi:
1) x + y = y + x; 5) (α + β) x = α x + β x;

2) x + (y + z) = (x + y) + z; 6) α (β x) = (α β) x;

3) x + (- y) = x – y ; 7) x + θ = x;

4) α (x + y) = α x + α y; 8) x 1 = x ,
bu yerda, x, y va z – arifmetik vektorlar, α va β esa haqiqiy sonlar.

3. 
   Arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi. Vektor uzunligi
   

Skalyar ko`paytma xossalari
Berilgan x = (x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; …; x<sub>n</sub>) va y = (y<sub>1</sub>; y<sub>2</sub>; …; y<sub>n</sub>) arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb, vektorlar mos koordinatalari ko`paytmalarining yig`indisiga teng songa aytiladi va (x, y) shaklda yoziladi. Ta`rifga binoan,

(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + …+ x_ny_n yoki

Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) vektorning moduli yoki uzunligi (normasi) deb, quyidagi formula bo`yicha aniqlanadigan nomanfiy |x| songa aytiladi:

yoki .

Vektorlarning skalyar ko`paytmasi quyidagi xossalarga bo`ysinadi:
1) (x, x) ≥ 0 , 3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z),

2) (αx, y) = α(x, y), 4) (x, y) = (y, x).
4. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Vektorlar orasidagi burchak. Uchburchak tengsizligi

Skalyar ko`paytma xossalaridan foydalanib, quyidagi Koshi–Bu-nyakovskiy tengsizligini isbotlash mumkin:
|(x, y)| ≤ |x| |y|.
Tengsizlik bo`yicha x va y vektorlar skalyar ko`paytmasi absolut qiymati vektorlar modullari ko`paytmasidan katta emas.

Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi koordinatalarda

ko`rinishda yoziladi. Shunday bir yagona λ = cos φ  [-1; 1] (φ[0;π]) son tanlash mumkinki, bunda
(x, y) = |x| |y| cosφ (φ  [0; π]).
tenglik o`rinli bo`ladi. Oxirgi tenglikdan real fazoda bo`lgani kabi, abstrakt R_n fazoda ham uning x va y arifmetik vektorlari orasidagi burchak haqida gapirish mumkin va uning kattaligi kosinusini aniqlash mumkin:


R_n fazoda ham uchburchak yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi
|x + y| ≤ |x| + |y|
tengsizlik o`rinli.

Xulosa

1. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamalarning muhim sinflaridan biri Bernulli differensial tenglamasi va uni yechishda muhim rol o`ynaydigan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishni turli usullarini o`rganish muhim ahamiyatga egadir.
   
2. 
   Bitiruv malakaviy ishida chiziqli tenglamalarning yechishning Eyler- Bernulli va Lagranj usullari bayon etiladi va bu usullar konkret misollarni yechishda tadbiq etiladi.
   
3. 
   Bernulli differensial tenglamasini yechimini mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremaning isboti keltiriladi, shuningdek bu tenglamaning maxsus yechimi masalasi ham o`rganiladi.
   
4. 
   Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan tenglamalarning sinflari (Darbu, Yakobi va Rikkate differensial tenglamalari) o`rganiladi va bu hollarga doir konkret misollarni yechish ko`rsatiladi.
   
5. 
   Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan fizikayiy masala (argonning sirpanishi haqida masala ) o`rganiladi va uni yechishi bayon etiladi.
   

A D A B I YO T L A R:

1. 
   A.S. Piskunov. Differensial va integral hisob. T. «O’qituvchi», 1974 y ,54 – 100 betlar.
   
2. 
   L.E.Elsgolts. Differensialnie uravneniya i variatsionnoe ischislenie. M. ,»Nauka» , 1969 g. ,s . 85 – 124 .
   
3. 
   L.S.Pontryagin. Differentsialnie uravneniya i ix prilojeniya. M., Nauka , 1965 g., s.41 – 66 .
   

4. M.S. Salohitdinov, O’.N. Nasritdinov. Oddiy differensial tenglamalar. T. «Uzbekiston» , 1994 y., 103 – 155 betlar .

5. V.P. Minorskiy. Oliy matematikadan masalalar to’plami. T. «O’qituvchi», 1977, 234-240 betlar.

6. 
   www.ziyonet.uz